Elements of Advanced International Trade

Chapter 1 An introduction into deductive reasoningChapter 2 The Heckscher-Ohlin modelAssumptionDemandProductionEndowmentsMarket structureAutarky Equilibrium问题求解Free Trade Equilibrium1 要素价格均等化2 要素相对价格3 要素配置4 两国消费

Chapter 1 An introduction into deductive reasoning

calibration: 确定参数，使模型中的自变量的分布与数据一致
- 模型就像一个坐标系，使用之前要确定比例尺。坐标系中两个相邻刻度到底代表多长呢？约定这个比例尺的过程，就是“校准”的字面意思。
- 经济学模型要能用，也要确定某些参数，使模型中的自变量能够代表相应的现实数据。
estimation：确定参数，使模型预测值与数据之间的差异最小
- 即统计学中“参数估计”的过程。
- 模型预测值与数据之间的差异通常用一个误差函数来衡量。

Chapter 2 The Heckscher-Ohlin model

Assumption

Demand

$U_i \equiv \left(c_1^i\right)^{a_1}\left(c_2^i\right)^{a_2}, i=1,2$

$i$ 代表国家

Production

$y_{\omega}^{i}=z_{\omega}\left(k_{\omega}^{i}\right)^{b_{\omega}}\left(l_{\omega}^{i}\right)^{1-b_{\omega}}, i, \omega=1,2$

$\omega$ 代表产业

$z_\omega$ 无上标表示两国技术相同

生产函数为 C-D 型，保证不会发生 factor intensity reversal

$0<b_2<b_1<1$ ，即相对于产业2，产业1更加资本密集

Endowments

$\bar{k}^{1} / \bar{l}^{1}>\bar{k}^{2} / \bar{l}^{2}$ ，即相对于2国，1国更加资本充裕

Market structure

完全竞争市场，企业获得零利润

Autarky Equilibrium

微观经济学无货币，所有价格都是相对价格。所以均衡解只需包含（1）商品相对价格（2）要素相对价格（3）要素配置和（4）商品产量即可。

$p_\omega^i$ $p_\omega^j$ $i\neq j$

问题

（1）消费者最优化

$\max a_{1} \ln c_{1}^{i}+a_{2} \ln c_{2}^{i} \\ \text { s.t. } p_{1}^{i} c_{1}^{i}+p_{2}^{i} c_{2}^{i} \leq r^{i} \bar{k}^{i}+w^{i} \bar{l}^{i}$ ，由其一阶条件可知一国商品总支出与要素总收入的关系

\begin{matrix} (1) & p_{1}^{i} c_{1}^{i} + p_{2}^{i} c_{2}^{i} = I^{i} = r^{i} {\bar{k}}^{i} + w^{i} {\bar{l}}^{i} \end{matrix}

以及由效用函数的形式所决定的支出在不同商品上的分配

\begin{matrix} (2) & \frac{p_{1}^{i} c_{1}^{i}}{p_{2}^{i} c_{2}^{i}} = \frac{a_{1}}{a_{2}} \end{matrix}

该式表明，商品消费比例是相对价格的函数。

（2）生产者成本最小化

$\min r^{i} k_{\omega}^{i}+w^{i} l_{\omega}^{i} \\ \text { s.t. } y_{\omega}^{i} \leq z_{\omega}\left(k_{\omega}^{i}\right)^{b_{\omega}}\left(l_{\omega}^{i}\right)^{1-b_{\omega}}$ , 由其一阶条件可知某商品产量与其要素投入的关系

\begin{matrix} (3) & y_{ω}^{i} = z_{ω} {(k_{ω}^{i})}^{b_{ω}} {(l_{ω}^{i})}^{1 - b_{ω}} \end{matrix}

以及该企业成本在不同要素上的分配

\begin{matrix} (4) & \frac{r^{i} k_{ω}^{i}}{w^{i} l_{ω}^{i}} = \frac{b_{ω}}{1 - b_{ω}} \end{matrix}

该式表明，某产业的要素投入比例是要素相对价格的函数

（3）市场结构：生产者零利润条件

\begin{matrix} (5) & p_{ω}^{i} y_{ω}^{i} = r^{i} k_{ω}^{i} + w^{i} l_{ω}^{i} \end{matrix}

（4）市场出清条件

商品市场出清条件

\begin{matrix} (6) & c_{ω}^{i} = y_{ω}^{i} \end{matrix}

要素市场出清/要素禀赋条件

\begin{matrix} (7) & \begin{matrix} \sum_{ω} l_{ω}^{i} = {\bar{l}}^{i} \\ \sum_{ω} k_{ω}^{i} = {\bar{k}}^{i} \end{matrix} \end{matrix}

求解

$\ref{costAllocation}$ $\ref{zeroProfit}$ ) 可得某产业中的劳动要素收入与该产业总收入的关系

\begin{matrix} (8) & w^{i} l_{ω}^{i} = (1 - b_{ω}) p_{ω}^{i} c_{ω}^{i} \end{matrix}

$\ref{expenditureAllocation}$ )，可得不同产业劳动要素收入的比例关系——由于不同产业工资相同，这也就是不同产业劳动要素投入的比例关系：

\begin{matrix} (9) & \frac{l_{1}^{i}}{l_{2}^{i}} = \frac{a_{1} (1 - b_{1})}{a_{2} (1 - b_{2})} \end{matrix}

$\ref{endowment}$ )，可得劳动在不同产业间的配置：

\begin{matrix} (10) & l_{1}^{i} = \frac{(1 - b_{1}) a_{1}}{(1 - b_{2}) a_{2} + (1 - b_{1}) a_{1}} {\bar{l}}^{i}, l_{2}^{i} = \frac{(1 - b_{2}) a_{2}}{(1 - b_{2}) a_{2} + (1 - b_{1}) a_{1}} {\bar{l}}^{i} \end{matrix}

同理可得资本在不同产业间的配置：

\begin{matrix} (11) & k_{1}^{i} = \frac{b_{1} a_{1}}{b_{1} a_{1} + b_{2} a_{2}} {\bar{k}}^{i}, k_{2}^{i} = \frac{b_{2} a_{2}}{b_{1} a_{1} + b_{2} a_{2}} {\bar{k}}^{i} \end{matrix}

$l_\omega^i, k_\omega^i$ $\ref{costAllocation}$ )，可得要素相对价格

\begin{matrix} (12) & \frac{r^{i}}{w^{i}} = \frac{{\bar{l}}^{i}}{{\bar{k}}^{i}} \frac{\sum_{ω} b_{ω} a_{ω}}{\sum_{ω} (1 - b_{ω}) a_{ω}} \end{matrix}

在 autarky 条件下，劳动相对越丰裕的国家，资本相对越贵。

$l_\omega^i, k_\omega^i$ $\ref{production}$ )，可得每种商品的产量

\begin{matrix} (13) & c_{ω}^{i} = y_{ω}^{i} = z_{ω} {(\frac{b_{ω} a_{ω}}{\sum_{ω^{'}} b_{ω^{'}} a_{ω^{'}}} {\bar{k}}^{i})}^{b_{ω}} {(\frac{(1 - b_{ω}) a_{ω}}{\sum_{ω^{'}} (1 - b_{ω^{'}}) a_{ω^{'}}} {\bar{l}}^{i})}^{1 - b_{ω}} \end{matrix}

$\ref{expenditureAllocation}$ )，即可得出商品相对价格。该式较复杂，此处从略。

Free Trade Equilibrium

$p_\omega$ 表示

只讨论没有 specialization 的 scenario，即两国均生产两种商品

均衡方程组包括：

（1）消费者最优化

\begin{matrix} (14) & p_{1} c_{1}^{i} + p_{2} c_{2}^{i} = r^{i} {\bar{k}}^{i} + w^{i} {\bar{l}}^{i} = I^{i} \end{matrix}

\begin{matrix} (15) & \frac{p_{1} c_{1}^{i}}{p_{2} c_{2}^{i}} = \frac{a_{1}}{a_{2}} \end{matrix}

（2）生产者最优化

\begin{matrix} (16) & y_{ω}^{i} = z_{ω} {(k_{ω}^{i})}^{b_{ω}} {(l_{ω}^{i})}^{1 - b_{ω}} \end{matrix}

\begin{matrix} (17) & \frac{r^{i} k_{ω}^{i}}{w^{i} l_{ω}^{i}} = \frac{b_{ω}}{1 - b_{ω}} \end{matrix}

（3）完全竞争市场

\begin{matrix} (18) & p_{ω} y_{ω}^{i} = r^{i} k_{ω}^{i} + w^{i} l_{ω}^{i} \end{matrix}

（4）市场出清

\begin{matrix} (19) & \sum_{i} c_{ω}^{i} = \sum_{i} y_{ω}^{i} \end{matrix}

\begin{matrix} (20) & \begin{matrix} \sum_{ω} l_{ω}^{i} = {\bar{l}}^{i} \\ \sum_{ω} k_{ω}^{i} = {\bar{k}}^{i} \end{matrix} \end{matrix}

1 要素价格均等化

联立生产最优化和完全竞争市场的三个方程，可得

\begin{matrix} (21) & p_{ω} = \frac{{(r^{i})}^{b_{ω}} {(w^{i})}^{1 - b_{ω}}}{z_{ω} {(b_{ω})}^{b_{ω}} {(1 - b_{ω})}^{1 - b_{ω}}} \end{matrix}

$\left(r^{1}\right)^{b_{\omega}}\left(w^{1}\right)^{1-b_{\omega}}=\left(r^{2}\right)^{b_{\omega}}\left(w^{2}\right)^{1-b_{\omega}}$ $\left(\frac{r^{1}}{r^{2}}\right)^{b_{\omega}}=\left(\frac{w^{2}}{w^{1}}\right)^{1-b_{\omega}}$

该式适用于所有产业，故同时有

\begin{matrix} (22) & \begin{matrix} {(\frac{r^{1}}{r^{2}})}^{b_{1}} = {(\frac{w^{2}}{w^{1}})}^{1 - b_{1}} \\ {(\frac{r^{1}}{r^{2}})}^{b_{2}} = {(\frac{w^{2}}{w^{1}})}^{1 - b_{2}} \end{matrix} \end{matrix}

令两式相除，有

\begin{matrix} (23) & {(\frac{r_{1} / r_{2}}{w_{1} / w_{2}})}^{b_{1} - b_{2}} = 1 \end{matrix}

$b_1-b_2>0$ $\frac{r_1/r_2}{w_1/w_2}=1$ $\frac{r_1}{r_2}=\frac{w_1}{w_2}$ $\left(\frac{r^{1}}{r^{2}}\right)^{b_{\omega}}=\left(\frac{w^{2}}{w^{1}}\right)^{1-b_{\omega}}$ $\left(\frac{r^{1}}{r^{2}}\right)^{b_{\omega}}=\left(\frac{r^{1}}{r^{2}}\right)^{b_{\omega}-1}$ $r^1=r^2$ $w^1=w^2$ ，即要素价格的上标都可以去掉

因此，自由贸易条件下有 factor price equalization, FPE

2 要素相对价格

由生产成本在不同要素上的分配易知

\begin{matrix} (24) & r k_{ω}^{i} = b_{ω} p_{ω} y_{ω}^{i} \end{matrix}

对两国加总，有

\begin{matrix} (25) & \begin{matrix} r (\sum_{i} k_{ω}^{i}) = b_{ω} p_{ω} (\sum_{i} y_{ω}^{i}) = b_{ω} p_{ω} (\sum_{i} c_{ω}^{i}) = b_{ω} (\sum_{i} p_{ω} c_{ω}^{i}) \\ = b_{ω} (\sum_{i} a_{ω} I^{i}) = a_{ω} b_{ω} (\sum_{i} I^{i}) \end{matrix} \end{matrix}

再对行业加总，即两国资本的总收入

\begin{matrix} (26) & \begin{matrix} (\sum_{i} I^{i}) \sum_{ω} a_{ω} b_{ω} = r \sum_{ω} \sum_{i} k_{ω}^{i} ⟹ \\ \sum_{i} I^{i} = \frac{r ({\bar{k}}^{1} + {\bar{k}}^{2})}{\sum_{ω} a_{ω} b_{ω}} \end{matrix} \end{matrix}

同理有

\begin{matrix} (27) & \sum_{i} I^{i} = \frac{w ({\bar{l}}^{1} + {\bar{l}}^{2})}{\sum_{ω} a_{ω} (1 - b_{ω})} \end{matrix}

两式相除，可得要素相对价格

\begin{matrix} (28) & \frac{r}{w} = \frac{{\bar{l}}^{1} + {\bar{l}}^{2}}{{\bar{k}}^{1} + {\bar{k}}^{2}} \frac{\sum_{ω} b_{ω} a_{ω}}{\sum_{ω} (1 - b_{ω}) a_{ω}} \end{matrix}

$\ref{factor_relative_price}$ ) 相比，可知自由贸易时的要素价格在 autarky 时两国要素价格之间。

由于上一部分已经导出商品价格与要素价格的关系，所以也不难求出商品相对价格。

3 要素配置

$\frac{k_{\omega}^i}{l_{\omega}^i}=\frac{b_\omega}{1-b_\omega} \frac{w}{r}$

$k_{\omega}^i=\frac{b_\omega}{1-b_\omega} \frac{w}{r} l_{\omega}^i$

对行业加总有

\begin{matrix} (29) & \begin{matrix} {\bar{k}}^{i} = k_{1}^{i} + k_{2}^{i} = \frac{w}{r} [\frac{b_{1}}{1 - b_{1}} l_{1}^{i} + \frac{b_{2}}{1 - b_{2}} l_{2}^{i}] = \frac{w}{r} [\frac{b_{1}}{1 - b_{1}} ({\bar{l}}^{i} - l_{2}^{i}) + \frac{b_{2}}{1 - b_{2}} l_{2}^{i}] ⟹ \\ \frac{l_{2}^{i}}{{\bar{l}}^{i}} = \frac{(1 - b_{2}) (1 - b_{1})}{b_{2} - b_{1}} (\frac{r}{w} \frac{{\bar{k}}^{i}}{{\bar{l}}^{i}} - \frac{b_{1}}{(1 - b_{1})}) \end{matrix} \end{matrix}

将要素相对价格代入，则

\begin{matrix} (30) & \frac{l_{2}^{i}}{{\bar{l}}^{i}} = \frac{(1 - b_{2}) (1 - b_{1})}{b_{1} - b_{2}} [\frac{b_{1}}{(1 - b_{1})} - \frac{\sum_{ω} b_{ω} a_{ω}}{\sum_{ω} (1 - b_{ω}) a_{ω}} \frac{{\bar{l}}^{1} + {\bar{l}}^{2}}{{\bar{k}}^{1} + {\bar{k}}^{2}} \frac{{\bar{k}}^{i}}{{\bar{l}}^{i}}] \end{matrix}

$l_1^i$ $k_\omega^i$

结论：
- $[0,1]$ $l_1^i$ $l_2^i$ 才能均为正，此时才有非专业化（该禀赋范围一般被成为多样化锥，cone of diversification）；否则，会出现另外的情形，至少有一个国家会只生产一种产品。
- $\bar{k}^{1} / \bar{l}^{1}>\bar{k}^{2} / \bar{l}^{2}$ $l_2^1/\bar{l}^1<l_2^2/\bar{l}^2$ ，即劳动更丰裕的国家，会有较高比例的劳动投入在劳动密集型产业（产业2）上；资本更丰裕的国家，会有较高比例的劳动投入在资本密集型产业（产业1）上。

根据要素投入，不难求出两国每个产业的产量。

4 两国消费

\begin{matrix} (31) & \begin{matrix} p_{ω} c_{ω}^{i} = \frac{a_{ω}}{a_{1} + a_{2}} (r {\bar{k}}^{i} + w {\bar{l}}^{i}) ⟹ \\ c_{ω}^{i} = \frac{a_{ω}}{a_{1} + a_{2}} z_{ω} b_{ω}^{b_{ω}} (1 - b_{ω})^{1 - b_{ω}} {(\frac{r}{w})}^{- b_{ω}} (\frac{r}{w} {\bar{k}}^{i} + {\bar{l}}^{i}) \end{matrix} \end{matrix}

将相对价格代入，即可求得消费量。

再结合上节求出的产量，可求得贸易规模。