Comparative Advantage, Trade, and Payments in a Ricardian Model with a Continuum of Goods

Dornbusch R, Fischer S, Samuelson P A. Comparative advantage, trade, and payments in a Ricardian model with a continuum of goods[J]. The American Economic Review, 1977, 67(5): 823-839.

Introduction

• 本文为 $2\times n\times 1$$2×n×1$ 模型：两个国家，n个产业¹，1种要素（劳动）

• 本文强调：模型解的关键在于确定产品分工的边界（competitive/advantage margin in production between imported and exported goods）

• 本文贡献：formally and precisely shows

  • 关税和运输成本导致出现了一系列非贸易品
  • 价格-铸币流动机制（price-specie flow mechanism）是否导致了相对工资和贸易条件的变化

• 本文框架

  • 第一部分：基本模型。其均衡解决定了相对工资及贸易模式
  • 第二部分：比较静态分析。讨论参数改变将如何影响模型的解
  • 第三部分：扩展模型。将非贸易品、运输成本、关税等因素加入模型
  • 第四部分：加入货币因素。讨论在固定和浮动汇率以及粘性工资假设下的价格-铸币流动机制

I The Real² Model

I.A Supply Side

I.A.1 technology/cost

设本国和外国在产业 $z$$z$ 生产每单位产品的劳动要素投入分别为 $a(z)$$a(z)$ 和 $a^{\ast }(z)$$a^*(z)$，定义产业比较优势函数 $A(z)\equiv a^{\ast }(z)/a(z),z\in [0,1]$$A(z)≡a^* (z)/a(z),z∈[0,1]$

将 $[0,1]$$[0,1]$ 区间内的产品按照比较优势从大到小的顺序做降序排列，即产业编号 $z$$z$ 从 0 到 1 变化时，本国的比较优势逐渐减小，则有 $A^{\prime }(z)<0$$A'(z)<0$

Comparative advantage（CA）是怎样定义的？

在 Ricardo 的原始版本中，CA 被称为 comparative costs，对两 goods 相对生产成本进行跨国比较，即（在一国内要素价格跨产业一致的前提下） $\begin{array}{r}CA(i,j)\equiv \frac{a(i)/a(j)}{a^{\ast }(i)/a^{\ast }(j)}\end{array}$$\begin{aligned} CA(i,j) \equiv \frac{a(i)/a(j)}{a^\ast(i)/a^\ast(j)} \end{aligned}$，其中 $a(\cdot )$$a(\cdot)$ 为单位产品的劳动投入量。

有了 H-O 两要素模型以后，CA 转而被定义为两国 autarky 均衡时，对两 goods 相对价格进行跨国比较，即 $\begin{array}{r}CA(i,j)\equiv \frac{P(i)/P(j)}{P^{\ast }(i)/P^{\ast }(j)}\end{array}$$\begin{aligned} CA(i,j) \equiv \frac{P(i)/P(j)}{P^\ast(i)/P^\ast(j)} \end{aligned}$。比如林毅夫新结构经济学中，反复提及的 CA 就建立在这种定义上。

共通的是

• $CA(i,j)>1$$CA(i,j)>1$ ⇒ 本国在 $j$$j$ 产品上具有比较优势，应出口 $j$$j$ 进口 $i$$i$
• $CA(i,j)<1$$CA(i,j)<1$ ⇒ 本国在 $i$$i$ 产品上具有比较优势，应出口 $i$$i$ 进口 $j$$j$

回到 Ricardo style 的比较成本定义，在 DFS1977 中

$$\begin{array}{}\text{(1)}& CA(i,j)\equiv \frac{a(i)/a(j)}{a^{\ast }(i)/a^{\ast }(j)}=\frac{a(i)}{a^{\ast }(i)}\frac{a^{\ast }(j)}{a(j)}=\frac{A(j)}{A(i)}\end{array}$$

$A(\cdot )$$A(\cdot)$ 函数从 $CA$$CA$ 的定义中将两个商品各自剥离了出来，使衡量 $CA$$CA$ 可以变为对两商品 $A(\cdot )$$A(\cdot)$ 的值的比较：

由于 continuum 是按照 $A(\cdot )$$A(\cdot)$ 的大小降序排列的，$A^{\prime }(\cdot )<0$$A'(\cdot)<0$，故 $\mathrm{\forall }(i,j),i>j$$\forall (i,j), i>j$，有 $A(i)<A(j)⟺CA(i,j)>1$$A(i)<A(j) ⟺ CA(i,j)>1$. 即 continuum 中的任意两个商品相比，本国更倾向于出口序号小的商品，进口序号大的商品。

由于 $A(\cdot )$$A(\cdot)$ 具有这种性质：某商品的 $A(\cdot )$$A(\cdot)$ 越大，本国越可能出口，外国越可能进口。因此可以将 $A(\cdot )$$A(\cdot)$ 形象地称为比较优势函数，对每种商品定义一个不依赖于其他商品的值。

但标准的 CA 定义，必须是包含两种商品的。

I.A.2 Specialization

设本国工资为 $w$$w$，外国工资为 $w^{\ast }$$w^*$，相对工资为 $\omega \equiv w/w^{\ast }$$ω≡w/w^*$，则产业 $z$$z$ 在本国专业化生产的条件为

$P(z)\le P^{\ast }(z)\iff a(z)w\le a^{\ast }(z)w^{\ast }\iff A(z)\ge \omega$$P(z)≤P^* (z)⇔a(z)w≤a^* (z) w^*⇔A(z)≥ω$

给定相对工资 $\omega$$ω$，记 $\tilde{z}=A^{-1}(\omega )$$\tilde{z}=A^{-1}(ω)$，则本国专业化生产的产业范围为 $z\in [0,\tilde{z}]$$z∈[0,\tilde{z}]$，外国专业化生产的产业范围为 $z\in [\tilde{z},1]$$z∈[\tilde{z},1]$.

因此，从供给侧看，相对工资 $\omega$$\omega$↗ 会导致产业向外国的转移 $\tilde{z}$$\tilde{z}$↘。

若产业 $z$$z$ 在本国生产（出口品），产业 $z^{\prime }$$z'$ 在外国生产（进口品），记相对价格（贸易条件 term of trade）为

$TT(z,z^{\prime })\equiv P(z)/P(z^{\prime })=\omega a(z)/a^{\ast }(z^{\prime }),z<\tilde{z}<z^{\prime }$$TT(z, z') \equiv P(z)/P(z')=ωa(z)/a^* (z'), z<\tilde{z}<z'$.

I.B Demand Side

I.B.1 支出

设两国有 identical tastes，且为 Cobb-Douglas 型效用函数，则每种产品支出占总支出的比例为常数。

以 $C(z)$$C(z)$ 为产品 $z$$z$ 的消费量，$b(z)$$b(z)$ 为消费者对产品 $z$$z$ 的支出比例（即效用函数中 $C(z)$$C(z)$ 的指数），则有 $b(z)=P(z)C(z)/Y$$b(z)=P(z)C(z)/Y$，$b(z)=b^{\ast }(z)$$b(z)=b^* (z)$ 以及 ${\int }_0^{1}b(z)dz=1$$\int_0^1 b(z)dz=1$.

定义两国消费者（both）对本国生产产品的支出比例（也是本国收入占全世界收入的份额）为 $\vartheta (\tilde{z})\equiv {\int }_0^{\tilde{z}}b(z)dz$$ϑ( \tilde{z})≡\int_0^\tilde{z} b(z)dz$，则对外国生产产品的支出比例为 $1-\vartheta (\tilde{z})$$1-ϑ(\tilde{z})$，且有 ${\vartheta }^{\prime }(\tilde{z})=b(\tilde{z})>0$$ϑ' (\tilde{z})=b(\tilde{z})>0$.

I.B.2 Trade Balance

本国进口 $IM=[1-\vartheta (\tilde{z})]wL$$IM=[1-ϑ(\tilde{z})]wL$，出口 $EX=\vartheta (\tilde{z})w^{\ast }{L}^{\ast }$$EX=ϑ(\tilde{z})w^*L^*$，则贸易平衡条件

可改写为 $\omega =\frac{\vartheta (\tilde{z})}{1-\vartheta (\tilde{z})}(L^{\ast }/L)$$ω=\frac{ϑ(\tilde{z})}{1-ϑ(\tilde{z})}(L^* /L)$

定义贸易平衡曲线 $B(\tilde{z};L^{\ast }/L)\equiv \frac{\vartheta (\tilde{z})}{1-\vartheta (\tilde{z})}(L^{\ast }/L)$$B(\tilde{z};L^*/L)≡\frac{ϑ(\tilde{z})}{1-ϑ(\tilde{z})}(L^* /L)$. 由于 ${\vartheta }^{\prime }(\tilde{z})=b(\tilde{z})>0$$ϑ' (\tilde{z})=b(\tilde{z})>0$，易知 $B^{\prime }(\tilde{z})>0$$B' (\tilde{z})>0$. 因此 $B(\tilde{z};L^{\ast }/L)$$B(\tilde{z};L^*/L)$ 向上倾斜。

因此，从需求侧看，产业向本国的转移 $\tilde{z}$$\tilde{z}$↗ 需要相对工资 $\omega$$\omega$↗ 来补偿³。

I.C Equilibrium

I.C.1 均衡解

将产业分工方程 $A(\tilde{z})=\omega$$A(\tilde{z})=ω$ 与贸易平衡方程 $B(\tilde{z})=\omega$$B(\tilde{z})=ω$ 联立，均衡时的相对价格 $\overline{\omega }$$\bar{ω}$ 和专业化边界 $\overline{z}$$\bar{z}$ 有唯一解，如 Figure 1 所示（该图不严密，横轴应为 $\tilde{z}$$\tilde{z}$ 轴而非 $z$$z$ 轴，下同）：

由求解过程可知，均衡解 $(\bar{\omega },\bar{z})$$(\overline{ω},\overline{z})$ 由以下几方面决定：技术 $(a,a^{\ast })$$(a,a^* )$，偏好 $(b,b^{\ast })$$(b,b^* )$ 和国家规模 $(L,L^{\ast })$$(L,L^*)$。

I.C.2 福利改善

相比 autarky，贸易使得所有商品的价格下降或不变，给定 C-D 型需求，所有商品的消费量上升或不变，总福利必然提高。

II Comparative Static Analysis

注：在比较静态分析中，假设产品市场远比要素市场灵活，即产业跨国转移的速度远大于工资调整的速度，允许工资调整不到位导致暂时的贸易不平衡。从而在两个静态均衡点之间，点的动态轨迹始终保持在 $A(z̃)$$A(z ̃ )$曲线上，沿着 $A(z̃)$$A(z ̃ )$ 移动来调整，而非沿着 $B(z̃;L^{\ast }/L)$$B(z ̃;L^*/L)$ 移动。

II.A Change in Relative Size

设 $L^{\ast }/L$$L^*/L$ 一次性增加。则 $B(z̃;L^{\ast }/L)$$B(z ̃;L^*/L)$ 函数的值等比例增加，贸易平衡曲线从 $B^o(z̃;L^{\ast }/L)$$B^o(z ̃;L^*/L)$ 到 $B^{\prime }(z̃;L^{\ast }/L)$$B'(z ̃;L^*/L)$的变化如 Figure 2 所示：

II.A.1 分工与相对工资

$\bar{\omega }$$\overline{ω}$↗，$\bar{z}$$\overline{z}$↘，相对工资增加，部分产业向国外转移。

II.A.2 相对工资变化幅度

由 Figure 2 可见，$\bar{\omega }$$\overline{ω}$ 变化的比例小于曲线上移的比例，即 $\frac{∆\omega ̅}{\omega ̅}<\frac{∆(L^{\ast }⁄L)}{L^{\ast }⁄L}$$\frac{∆ω ̅}{ω ̅}<\frac{∆(L^*⁄L)}{L^*⁄L}$

II.A.3 本国收入占世界收入份额

因 ${\vartheta }^{\prime }(z̃)>0$$ϑ' (z ̃ )>0$，由 $\bar{z}$$\overline{z}$↘可知 $\vartheta (z̃)$$ϑ(z ̃ )$↘

II.A.4 贸易条件

$TT(z,z^{\prime })=\frac{\bar{\omega }a(z)}{a^{\ast }(z^{\prime })}$$TT(z, z') =\frac{\overline{ω}a(z)}{a^* (z')}$ 随 $\bar{\omega }$$\overline{ω}$↗而↗，本国贸易条件改善，外国贸易条件恶化。

II.A.5 居民福利

• 本国典型居民

  • 购买一直由本国生产产品的数量 $b(z)w/P(z)=b(z)/a(z)$$b(z)w/P(z)=b(z)/a(z)$ 不变，$z\in [0,{\bar{z}}^{\prime }]$$z∈[0,\overline{z}']$；
  • 购买一直由外国生产产品的数量 $b(z)w/P^{\ast }(z)=\omega b(z)/a^{\ast }(z)$$b(z)w/P^*(z)=ωb(z)/a^* (z)$，会因$\bar{\omega }$$\overline{\omega}$↗而增加，$z\in [\bar{z},1]$$z∈[\overline{z},1]$；
  • 购买原本由本国生产、现在由外国生产的产品数量从 $b(z)/a(z)$$b(z)/a(z)$ 变为 ${\bar{\omega }}^{\prime }b(z)/a^{\ast }(z)$$\overline{ω}'b(z)/a^* (z)$，$z\in [{\bar{z}}^{\prime },\bar{z}]$$z∈[\overline{z}',\overline{z}]$. 由于在这个范围内 $A(z)\equiv a^{\ast }(z)/a(z)<{\bar{\omega }}^{\prime }$$A(z)≡a^* (z)/a(z) <\overline{ω}'$，故 $b(z)/a(z)<{\bar{\omega }}^{\prime }b(z)/a^{\ast }(z)$$b(z)/a(z)<\overline{ω}'b(z)/a^* (z)$，即数量增加。
  • 因此本国消费者购买的所有产品的数量，或者不变，或者增加，在C-D型需求条件下总效用必增加，福利改善。

• 外国典型居民

  • 购买一直由本国生产产品的数量 $b(z)w^{\ast }/P(z)=b(z)/\omega a(z)$$b(z) w^*/P(z)=b(z)/ωa(z)$，会因 $\bar{\omega }$$\overline{\omega}$↗而下降，$z\in [0,{\bar{z}}^{\prime }]$$z∈[0,\overline{z}']$；
  • 购买一直由外国生产产品的数量 $b(z)w^{\ast }/P^{\ast }(z)=b(z)/a^{\ast }(z)$$b(z) w^*/P^*(z)=b(z)/a^* (z)$ 不变，$z\in [\bar{z},1]$$z∈[\overline{z},1]$；
  • 购买原本由本国生产、现在由外国生产的产品数量从 $b(z)/\bar{\omega }a(z)$$b(z)/\overline{ω}a(z)$ 变为 $b(z)/a^{\ast }(z)$$b(z)/a^* (z)$，$z\in [{\bar{z}}^{\prime },\bar{z}]$$z∈[\overline{z}',\overline{z}]$. 由于在这个范围内 $A(z)\equiv a^{\ast }(z)/a(z)>\bar{\omega }$$A(z)≡a^* (z)/a(z) >\overline{ω}$，故 $b(z)/\bar{\omega }a(z)$$b(z)/\overline{ω}a(z)$> $b(z)/a^{\ast }(z)$$b(z)/a^* (z)$，数量下降。
  • 因此外国消费者购买的所有产品的数量，或者不变，或者减少，在C-D型需求条件下总效用必减少，福利恶化。

II.B Uniform Technical Progress

设外国技术水平经历了 uniform progress, 即 $a^{\ast }(z)$$a^*(z)$ 等比例地减少（各产业等比例的技术进步），则产业分工方程 $A(z̃)=\omega$$A(z ̃ )=ω$ 中 $A(z̃)$$A(z ̃ )$ 函数的值等比例下降，从而曲线下移。

II.B.1 分工与相对工资

${\bar{z}}^{\prime }<\bar{z}$$\overline{z}'<\overline{z}$，外国技术进步使本国丧失一些比较优势，部分产业向国外转移。

起初工资水平尚未调整，但产业分工已经调整，均衡点 $E$$E$ 先水平左移到新曲线 $A^{\prime }(z)$$A'(z)$ 上，存在贸易赤字，再沿着 $A^{\prime }(z)$$A'(z)$ 慢慢下滑到新的均衡点 $E^{\prime }$$E'$，贸易复归平衡，有 ${\bar{\omega }}^{\prime }<\bar{\omega }$$\overline{\omega}'<\overline{\omega}$，相对工资下降。

II.B.2 相对工资变化幅度

由图可见，$\bar{\omega }$$\overline{\omega}$ 变化的比例小于曲线下移的比例，即 $|∆\bar{\omega }/\bar{\omega }|<|∆a^{\ast }(z)/a^{\ast }(z)|$$|∆\overline{\omega}/\overline{\omega} |<|∆a^* (z)/a^* (z)|$

II.B.3 贸易条件

$TT(z,z^{\prime })=\frac{\bar{\omega }a(z)}{a^{\ast }(z^{\prime })}$$TT(z, z') =\frac{\overline{ω}a(z)}{a^* (z')}$，因分子变小的比例小于分母变小的比例，故 $TT(z,z^{\prime })$$TT(z, z')$↗

本国贸易条件改善，外国贸易条件恶化。

II.B.4 居民福利

• 本国典型居民：

  • 购买一直由本国生产产品的数量 $b(z)/a(z)$$b(z)/a(z)$ 不变，$z\in [0,{\bar{z}}^{\prime }]$$z∈[0,\overline{z}']$；
  • 购买一直由外国生产产品的数量 $\omega b(z)/a^{\ast }(z)$$ωb(z)/a^* (z)$，因分子变小的比例小于分母变小的比例而增加，$z\in [\bar{z},1]$$z∈[\overline{z},1]$；
  • 购买原本由本国生产、现在由外国生产的产品数量从 $b(z)/a(z)$$b(z)/a(z)$ 变为 ${\bar{\omega }}^{\prime }b(z)/a^{\ast }(z{)}^{\prime }$$\overline{ω}'b(z)/a^* (z)'$，$z\in [{\bar{z}}^{\prime },\bar{z}]$$z∈[\overline{z}',\overline{z}]$. 由于在这个范围内$A^{\prime }(z)\equiv a^{\ast }(z{)}^{\prime }/a(z)<{\bar{\omega }}^{\prime }$$A'(z)≡a^*(z)'/a(z)<\overline{ω}'$，故 $b(z)/a(z)<{\bar{\omega }}^{\prime }b(z)/a^{\ast }(z{)}^{\prime }$$b(z)/a(z)<\overline{ω}'b(z)/a^* (z)'$，数量增加。
  • 本国消费者购买的所有产品的数量，或者不变，或者增加，福利改善。

• 外国典型居民：

  • 购买一直由本国生产产品的数量 $b(z)/\omega a(z)$$b(z)/ωa(z)$，会因 $\bar{\omega }$$\overline{\omega}$↘而上升，$z\in [0,{\bar{z}}^{\prime }]$$z∈[0,\overline{z}']$；
  • 购买一直由外国生产产品的数量 $b(z)/a^{\ast }(z)$$b(z)/a^* (z)$，因技术进步即 $a^{\ast }(z)$$a^* (z)$↘而上升，$z\in [\bar{z},1]$$z∈[\overline{z},1]$；
  • 购买原本由本国生产、现在由外国生产的产品数量从 $b(z)/\bar{\omega }a(z)$$b(z)/\overline{ω}a(z)$ 变为 $b(z)/a^{\ast }(z{)}^{\prime }$$b(z)/a^* (z)'$，$z\in [{\bar{z}}^{\prime },\bar{z}]$$z∈[\overline{z}',\overline{z}]$. 由于在这个范围内 $A^{\prime }(z)\equiv a^{\ast }(z{)}^{\prime }/a(z)<\bar{\omega }$$A'(z)≡a^*(z)'/a(z)<\overline{ω}$，故 $b(z)/\bar{\omega }a(z)<b(z)/a^{\ast }(z{)}^{\prime }$$b(z)/\overline{ω}a(z)<b(z)/a^* (z)'$，数量上升。
  • 外国消费者购买的所有产品的数量，或者不变，或者增加，福利改善。

• 一国各产业等比例的技术进步，对各国福利都有正面影响。

II.C Technology Diffusion

设本国为技术先进国，起初有 $A(z)>1,\forall z\in [0,1]$$A(z)>1, ∀ z∈[0,1]$

考虑极端情况：本国技术向外国扩散使两国技术趋同，最终 $a^{\ast }(z)=a(z),\forall z\in [0,1]$$a^* (z)=a(z), ∀ z∈[0,1]$，从而 $A(z)=1,\forall z\in [0,1]$$A(z)=1, ∀z∈[0,1]$，并达到新均衡 $E^{\prime }$$E'$，此时必有 ${\overline{\omega }}^{\prime }=1$$\bar{\omega}'=1$。

II.C.1 本国典型居民福利

外国与本国的技术和工资完全相同，则价格完全相同，再无贸易的必要。两国都将自给自足，生产所有的产品。本国从开放变为封闭，又没有技术进步，福利必然恶化。

II.C.2 经济含义

落后国完全获得先进国的生产技术，会对先进国福利产生负面影响。

II.C.3 落后国的技术进步

对比 II.B.4 与 II.C.2 的结论，可知落后国的技术进步对先进国的福利影响是不确定的，有些形式的技术进步是双赢的，有些形式的技术进步会造成先进国福利的恶化 。

区别在于，落后国的技术进步更多地发生在什么部门。若进口部门的技术进步更大，则先进国的福利有可能恶化。

II.D Demand Shifts towards Domestic Goods

假设有需求变化 from high z commodities toward low z commodities. 即 $z$$z$ 值较小的 $b(z)$$b(z)$ 上升，$z$$z$ 值较大的 $b(z)$$b(z)$ 下降。

则 $\vartheta (\tilde{z})\equiv {\int }_0^{\tilde{z}}b(z)dz$$ϑ( \tilde{z})≡\int_0^\tilde{z} b(z)dz$ 曲线在 $\tilde{z}$$\tilde{z}$ 较小时斜率变高，在 $\tilde{z}$$\tilde{z}$ 较大时斜率变低，因此会比之前向上凸，更快地积累到1——从而贸易平衡曲线 $B(\tilde{z};L^{\ast }/L)\equiv \frac{\vartheta (\tilde{z})}{1-\vartheta (\tilde{z})}(L^{\ast }/L)$$B(\tilde{z};L^*/L)≡\frac{ϑ(\tilde{z})}{1-ϑ(\tilde{z})}(L^* /L)$ 的位置上移（但并非等比例上移），如下图。

II.D.1 分工与相对工资

同 II.A.1，$\bar{\omega }$$\overline{ω}$↗，$\bar{z}$$\overline{z}$↘，相对工资增加，部分产业向国外转移。

II.D.2 本国收入份额

$\vartheta (\bar{z})=wL/(wL+w^{\ast }{L}^{\ast })=\frac{1}{1+(L^{\ast }⁄L)/\omega ̅}$$ϑ(\overline{z})=wL/(wL+w^* L^* )=\frac{1}{1+(L^*⁄L)/ω ̅ }$，因$\bar{\omega }$$\overline{ω}$↗而↗

$\vartheta (\tilde{z})\equiv {\int }_0^{\tilde{z}}b(z)dz$$ϑ( \tilde{z})≡\int_0^\tilde{z} b(z)dz$，之所以不像 II.A.3 那样，由 $\bar{z}$$\overline{z}$↘便可知 $\vartheta (\bar{z})$$ϑ(\overline{z})$↘，是因为 $b(z)$$b(z)$ 变了，$\vartheta (z̃)$$ϑ(z ̃)$ 函数的形状也变了。

II.D.3 福利

同 II.A.5，可知本国消费者购买的所有产品的数量，或者不变，或者增加；外国消费者购买的所有产品的数量，或者不变，或者减少。

但福利是不确定的，因为效用函数中各商品消费量的指数变化了⁴。

II.E Unilateral Transfers

设外国对我国有一笔转移支付 $TR$$TR$，则本国进口为 $IM=[1-\vartheta (z̃)](wL+TR)$$IM=[1-ϑ(z ̃ )](wL+TR)$，出口为 $EX=\vartheta (z̃)(w^{\ast }{L}^{\ast }-TR)$$EX=ϑ(z ̃ )(w^* L^*-TR)$，国际收支平衡条件为 $EX-IM+TR=0$$EX-IM+TR=0$，即 $[1-\vartheta (z̃)](wL+TR)=\vartheta (z̃)(w^{\ast }{L}^{\ast }-TR)+TR$$[1-ϑ(z ̃ )](wL+TR)=ϑ(z ̃ )(w^* L^*-TR)+TR$

该式与 $(\text{2})$$(\ref{1})$ 完全等价，故解也完全相同。因此，单纯购买力的转移不会引起相对工资和贸易条件的任何变化（这与现实不符⁵。直观解释：因为需求完全一致，购买力的转移并不会导致产品相对需求的变化，也就不会引起对两国劳动力的引致需求变化）。当然，本国居民因额外得到一笔收入而福利改善，外国居民有相应的福利恶化。

III Extensions of the Real Model

有太多贸易事实，是基本模型无法解释的，因此要对其进行扩展。

III.A Exogenous Nontraded Goods

III.A.1 模型的解

设存在贸易品和非贸易品，均符合 C-D 型需求。消费者对贸易品的总支出比例为 $k\equiv {\int }_0^{1}b(z)dz<1$$k≡\int_0^1b(z)dz<1$

则两国消费者对本国生产贸易品的支出比例为 $\vartheta (z̃)={\int }_0^{z̃}b(z)dz$$ϑ(z ̃ )=∫_0^{z ̃}b(z)dz$，对外国生产贸易品的支出比例为 $k-\vartheta (z̃)$$k-ϑ(z ̃)$，对非贸易品的支出比例为 $1-k$$1-k$

则 $IM=[k-\vartheta (z̃)]wL$$IM=[k-ϑ(z ̃)]wL$，$EX=\vartheta (z̃)w^{\ast }{L}^{\ast }$$EX=ϑ(z ̃ ) w^* L^*$，贸易平衡条件为 $[k-\vartheta (z̃)]wL=\vartheta (z̃)w^{\ast }{L}^{\ast }$$[k-ϑ(z ̃)]wL=ϑ(z ̃ ) w^* L^*$，可改写为

将其与产业分工方程 $A(z̃)=\omega$$A(z ̃ )=ω$ 联立，即可解得均衡时的相对价格 $\bar{\omega }$$\overline{\omega}$ 和专业化边界 $\bar{z}$$\overline{z}$。易知，该解的结构、性质与 I 中的 real model 相同，都由技术、需求和相对规模三个因素决定。

III.A.2 Shift in Demand towards Nontrade Goods

需求向非贸易转移，则对贸易品的支出比例 $k$$k$↘，那么，贸易品中哪些品种的支出份额下降呢？以下讨论三种情况：

1. $z$$z$ 值较大的 $b(z)$$b(z)$ 下降，$z$$z$ 值较小的 $b(z)$$b(z)$ 不变

   1. $\vartheta (\bar{z})={\int }_0^{\bar{z}}b(z)dz$$ϑ(\overline{z})=∫_0^\overline{z}b(z)dz$ 不变，则 $\frac{\vartheta (\bar{z})}{k-\vartheta (\bar{z})}(L^{\ast }/L)$$\frac{ϑ(\overline{z})}{k-ϑ(\overline{z})} (L^*/L)$ 因 $k$$k$↘而↗，即 $B(z̃)=\frac{\vartheta (\tilde{z})}{k-\vartheta (\tilde{z})}(L^{\ast }/L)$$B(z ̃)=\frac{ϑ(\tilde{z})}{k-ϑ(\tilde{z})}(L^* /L)$ 曲线在 $\bar{z}$$\overline{z}$ 处比原来的曲线高，因此应有 $\bar{\omega }$$\overline{ω}$↗和 $\bar{z}$$\overline{z}$↘.
   2. 即偏好由外国出口品向非贸易品的转移，导致本国相对工资上升、临界产业向国外转移。

2. $z$$z$值较小的$b(z)$$b(z)$下降，$z$$z$值较大的$b(z)$$b(z)$不变

   1. $k$$k$ 下降，$\vartheta (\bar{z})={\int }_0^{\bar{z}}b(z)dz$$ϑ(\overline{z})=∫_0^\overline{z}b(z)dz$ 也下降，且下降的绝对规模一致，则 $k-\vartheta (\overline{z})$$k-ϑ(\bar{z})$ 不变，从而 $B(z̃)$$B(z ̃)$ 曲线在 $\bar{z}$$\overline{z}$ 处比原来的曲线低，因此应有 $\bar{\omega }$$\overline{ω}$↘和 $\bar{z}$$\overline{z}$↗
   2. 即偏好由本国出口品向非贸易品的转移，导致本国相对工资下降、临界产业向国内转移。

3. 所有的 $b(z)$$b(z)$ 等比例下降

   1. 则所有的 $b(z)$$b(z)$、$\vartheta (z̃)$$ϑ(z ̃)$ 包括 $k$$k$ 变化的幅度是一致的，从而 $B(z̃)$$B(z ̃)$ 曲线不变，均衡解也不变。

III.A.3 Unilateral Transfers

设本国收到外国 $w^{\ast }T$$w^* T$ 的转移支付（外国人均负担 $T$$T$），则国际收支平衡条件 $EX-IM+TR=0$$EX-IM+TR=0$ 可以化为 $[k-\vartheta (z̃)](wL+w^{\ast }T)=\vartheta (z̃)(w^{\ast }{L}^{\ast }-w^{\ast }T)+w^{\ast }T$$[k-ϑ(z ̃)](wL+w^* T)=ϑ(z ̃ )(w^* L^*-w^* T)+w^* T$

进一步化简为 $\omega =\frac{1-k}{k-\vartheta (z̃)}(T/L)+\frac{\vartheta (z̃)}{k-\vartheta (z̃)}(L^{\ast }/L)$$ω=\frac{1-k}{k-ϑ(z ̃)}(T/L)+\frac{ϑ(z ̃)}{k-ϑ(z ̃)}(L^* /L)$

与 ($\text{3}$$\ref{2}$) 式相比，该曲线在每一个 $z̃$$z ̃$ 取值都更高，即转移支付使 $B(z̃)$$B(z ̃)$ 曲线上移了，故有 $\bar{\omega }$$\overline{ω}$↗和 $\bar{z}$$\overline{z}$↘. 本国相对工资上升，贸易条件改善⁶。

加入非贸易品的分析证实了一个传统观点：转移支付会影响贸易条件⁷。

III.B Transport Costs: Endogenous Nontraded Goods

Iceberg transport cost: 设货物到达系数 $g(z)=g,\forall z\in [0,1]$$g(z)=g,∀z∈[0,1]$. 贸易者为了盈亏平衡，到岸价必须是离岸价（生产成本）的 $1/g$$1/g$.

通常令 $\tau \equiv 1/g$$\tau \equiv 1/g$ 以简化符号。

III.B.1 Specialization

本国生产范围：本国产品成本低于外国产品到岸价，即

$wa(z)\le (1/g)w^{\ast }{a}^{\ast }(z)\iff \omega \le A(z)/g$$wa(z)≤(1/g) w^* a^* (z)⇔ ω≤A(z)/g$

外国生产范围：外国产品成本低于本国产品到岸价，即

$w^{\ast }{a}^{\ast }(z)\le (1/g)wa(z)\iff \omega \ge A(z)\cdot g$$w^* a^* (z)≤(1/g)wa(z) ⇔ ω≥A(z)\cdot g$

如 Figure 3，给定相对工资 $\omega$$ω$，则本国生产范围为$[0,\tilde{z}]$$[0,\tilde{z}]$，外国生产范围为$[{\tilde{z}}^{\ast },1]$$[\tilde{z}^*,1]$；从而本国进口范围为$[\tilde{z},1]$$[\tilde{z},1]$，本国出口范围为$[0,{\tilde{z}}^{\ast }]$$[0,\tilde{z}^*]$，非贸易范围为$[{\tilde{z}}^{\ast },\tilde{z}]$$[\tilde{z}^*,\tilde{z}]$. 其中

$\tilde{z}=A^{-1}(g\omega )$$\tilde{z}=A^{-1} (gω)$

${\tilde{z}}^{\ast }=A^{-1}(\omega /g)$$\tilde{z}^*=A^{-1} (ω/g)$

且有

$d\tilde{z}/d(g\omega )=1/[d(g\omega )/d\tilde{z}]=1/[A(\tilde{z})/d\tilde{z}]=1/A^{\prime }(\tilde{z})<0$$d\tilde{z}/d(gω)=1/[d(gω)/d\tilde{z}]=1/[A(\tilde{z})/d\tilde{z}]=1/A'(\tilde{z})<0$

$d{\tilde{z}}^{\ast }/d(\omega /g)=1/[d(\omega /g)/d{\tilde{z}}^{\ast }]=1/[A({\tilde{z}}^{\ast })/d{\tilde{z}}^{\ast }]=1/A^{\prime }({\tilde{z}}^{\ast })<0$$d\tilde{z}^*/d(ω/g)=1/[d(ω/g)/d\tilde{z}^* ]=1/[A(\tilde{z}^*)/d\tilde{z}^*]=1/A'(\tilde{z}^*)<0$

III.B.2 Demand

记本国居民对本国生产产品的支出比例为 $\lambda$$λ$，对本国进口产品的支出比例为 $1-\lambda$$1-λ$；外国居民对外国生产产品的支出比例为 ${\lambda }^{\ast }$$λ^*$，对本国出口产品的支出比例为 $1-{\lambda }^{\ast }$$1-λ^*$。其中

$\lambda ={\int }_0^{\tilde{z}}b(z)dz$$λ=∫_0^\tilde{z}b(z)dz$

${\lambda }^{\ast }={\int }_{{\tilde{z}}^{\ast }}^{1}b(z)dz=1-{\int }_0^{{\tilde{z}}^{\ast }}b(z)dz$$λ^*=∫_{\tilde{z}^*}^1b(z)dz=1-∫_0^{\tilde{z}^*}b(z)dz$

由于通过产业分工方程可将 $\tilde{z}$$\tilde{z}$ 和 ${\tilde{z}}^{\ast }$$\tilde{z}^*$ 都表示为 $\omega$$ω$ 的函数，因此 $\lambda$$λ$、${\lambda }^{\ast }$$λ^*$ 事实上也都是 $\omega$$ω$ 的函数：

$d\lambda /d(g\omega )=d\lambda /d\tilde{z}\cdot d\tilde{z}/d(g\omega )=b(\tilde{z})/A^{\prime }(\tilde{z})<0$$dλ/d(gω) =dλ/d\tilde{z} \cdot d\tilde{z}/d(gω) =b(\tilde{z})/A'(\tilde{z})<0$

$d{\lambda }^{\ast }/d(\omega /g)=d{\lambda }^{\ast }/d{\tilde{z}}^{\ast }\cdot d{\tilde{z}}^{\ast }/d(\omega /g)=-b({\tilde{z}}^{\ast })/A^{\prime }({\tilde{z}}^{\ast })>0$$dλ^*/d(ω/g) =dλ^*/d\tilde{z}^* \cdot d\tilde{z}^*/d(ω/g) =-b(\tilde{z}^*)/A' (\tilde{z}^* ) >0$

III.B.3 Equilibrium

贸易平衡方程为

可以将其改写为

其中 $\phi (\omega ;L^{\ast }/L,g)\equiv \frac{1-{\lambda }^{\ast }}{1-\lambda }\cdot \frac{L^{\ast }}{L}$$φ(ω;L^* /L,g)≡\frac{1-λ^*}{1-λ} \cdot \frac{L^*}{L}$，且由 $d\lambda /d(g\omega )$$dλ/d(gω)$ 和 $d{\lambda }^{\ast }/d(\omega /g)$$dλ^*/d(ω/g)$ 的符号可知 $\partial \phi /\partial \omega <0$$∂φ/∂ω<0$，从而 $\Phi (\omega )$$Φ(ω)$ 单调递减。

故上式有唯一解 $\bar{\omega }(L^{\ast }/L,g)$$\overline{ω}(L^* /L,g)$⁸，即为均衡时的相对工资，进而可确定均衡时的贸易模式和非贸易品范围（内生的！）。

III.B.4 比较静态分析

4.1 国家相对规模的变化

以 $L^{\ast }/L$$L^* /L$ 为自变量，将 ($\text{5}$$\ref{4}$) 改写为关于 $L^{\ast }/L$$L^* /L$ 的复合函数形式，即令 $\Phi (L^{\ast }/L)\equiv \phi (\bar{\omega }(L^{\ast }/L),L^{\ast }/L)-\bar{\omega }(L^{\ast }/L)=0$$Φ(L^*/L)≡φ(\overline{\omega}(L^*/L),L^*/L)-\overline{\omega}(L^*/L)=0$，则有

$\frac{d\Phi }{d(L^{\ast }/L)}=\frac{\partial \phi }{\partial \bar{\omega }}\frac{d\bar{\omega }}{d(L\ast /L)}+\frac{\partial \phi }{\partial (L\ast /L)}-\frac{d\bar{\omega }}{d(L\ast /L)}=(\frac{\partial \phi }{\partial \bar{\omega }}-1)\frac{d\bar{\omega }}{d(L\ast /L)}+\frac{1-{\lambda }^{\ast }}{1-\lambda }=0$$\frac{dΦ}{d(L^* /L)}=\frac{∂φ}{∂\overline{ω}}\frac{d\overline{ω}}{d(L*/L)}+\frac{∂φ}{∂(L*/L)}-\frac{d\overline{ω}}{d(L*/L)}=(\frac{∂φ}{∂\overline{ω}}-1)\frac{d\overline{ω}}{d(L*/L)}+\frac{1-λ^*}{1-λ}=0$

因 $(1-{\lambda }^{\ast })/(1-\lambda )>0,\partial \phi /\partial \bar{\omega }<0$$(1-λ^* )/(1-λ)>0, ∂φ/∂\overline{\omega} <0$，故必有 $d\bar{\omega }/d(L^{\ast }/L)>0$$d\overline{\omega}/d(L^* /L)>0$.

因此，国家相对规模变化对均衡工资的影响与 II.A 相同，即 $(L^{\ast }/L)$$(L^*/L)$↗时，有 $\bar{\omega }$$\overline{\omega}$↗和 $\bar{z}$$\overline{z}$↘、${\bar{z}}^{\ast }$$\overline{z}^*$↘。外国相对规模变大会导致本国相对工资上升、进口范围增加、出口范围减少。

4.2 运输成本的变化

将 ($\text{5}$$\ref{4}$) 改写为关于 $g$$g$ 的复合函数的形式，即令 $\mathrm{\Phi }\left(g\right)\equiv \phi (\bar{\omega }(g),g)-\bar{\omega }(g)=0$$\Phi\left(g\right) \equiv \varphi\left(\overline{\omega}(g), g\right)-\overline{\omega}(g)=0$，则有

$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dg}=\frac{\partial \phi }{\partial \bar{\omega }}\frac{d\bar{\omega }}{dg}+\frac{\partial \phi }{\partial g}-\frac{d\bar{\omega }}{dg}=(\frac{\partial \phi }{\partial \bar{\omega }}-1)\frac{d\bar{\omega }}{dg}+\underset{\partial \phi /\partial g}{\underbrace{\frac{(1-\lambda )\frac{\bar{\omega }}{g^2}\frac{d{\lambda }^{\ast }}{d(\bar{\omega }/g)}+(1-{\lambda }^{\ast })\bar{\omega }\frac{d\lambda }{d(g\bar{\omega })}}{(1-\lambda {)}^2}\cdot \frac{L^{\ast }}{L}}}=0$$\frac{d \Phi}{d g}=\frac{\partial \varphi}{\partial \overline{\omega}} \frac{d \overline{\omega}}{d g}+\frac{\partial \varphi}{\partial g}-\frac{d \overline{\omega}}{d g}=\left(\frac{\partial \varphi}{\partial \overline{\omega}}-1\right) \frac{d \overline{\omega}}{d g}+\underbrace{\frac{(1-\lambda) \frac{\overline{\omega}}{g^{2}} \frac{d \lambda^{*}}{d(\overline{\omega} / g)}+\left(1-\lambda^{*}\right) \overline{\omega} \frac{d \lambda}{d(g \overline{\omega})}}{(1-\lambda)^{2}} \cdot \frac{L^{*}}{L}}_{\partial \varphi / \partial g}=0$

因 $d\lambda /d(g\bar{\omega })<0$$dλ/d(g\overline{ω})<0$，$d{\lambda }^{\ast }/d(\bar{\omega }/g)>0$$dλ^*/d(\overline{ω}/g)>0$，所以 $\partial \phi /\partial g$$∂φ/∂g$ 一项的正负无法确定，则 $d\bar{\omega }/dg$$d\overline{ω}/dg$ 项的正负也无法确定。

因此，运输成本变化时，均衡工资的变化方向不确定。

III.C Tariffs

III.C.1 Assumption

No transport costs, but there are uniform tariffs rates of $t$$t$ and $t^{\ast }$$t^*$.

关税为 lump-sum 型，取之于民用之于民，返还成为居民收入的一部分。

III.C.2 Specialization

本国生产范围：$wa(z)\le (1+t)w^{\ast }{a}^{\ast }(z)\iff \omega \le A(z)(1+t)$$wa(z)≤(1+t) w^* a^* (z) ⇔ ω≤A(z)(1+t)$

外国生产范围：$w^{\ast }{a}^{\ast }(z)\le (1+t^{\ast })wa(z)\iff \omega \ge A(z)/(1+t^{\ast })$$w^* a^* (z)≤(1+t^* )wa(z) ⇔ ω≥A(z)/(1+t^*)$

给定相对工资 $\omega$$ω$，则本国生产范围为$[0,\tilde{z}]$$[0,\tilde{z}]$，外国生产范围为$[{\tilde{z}}^{\ast },1]$$[\tilde{z}^*,1]$。从而本国进口范围为$[\tilde{z},1]$$[\tilde{z},1]$，本国出口范围为$[0,{\tilde{z}}^{\ast }]$$[0,\tilde{z}^*]$，非贸易范围为$[{\tilde{z}}^{\ast },\tilde{z}]$$[\tilde{z}^*,\tilde{z}]$. 其中

$\tilde{z}=A^{-1}(\omega /(1+t))$$\tilde{z}=A^{-1} (ω/(1+t))$

${\tilde{z}}^{\ast }=A^{-1}(\omega (1+t^{\ast }))$$\tilde{z}^*=A^{-1} (ω(1+t^*))$

且有

$d\tilde{z}/d(\omega /(1+t))=1/A^{\prime }(\tilde{z})<0$$d\tilde{z}/d(ω/(1+t))=1/A'(\tilde{z})<0$

$d{\tilde{z}}^{\ast }/d(\omega (1+t^{\ast }))=1/A^{\prime }({\tilde{z}}^{\ast })<0$$d\tilde{z}^*/d(ω(1+t^*))=1/A'(\tilde{z}^*)<0$

III.C.3 Demand

记本国居民对本国生产产品的支出比例为 $\lambda$$λ$，对本国进口产品的支出比例为 $1-\lambda$$1-λ$；外国居民对外国生产产品的支出比例为 ${\lambda }^{\ast }$$λ^*$，对本国出口产品的支出比例为 $1-{\lambda }^{\ast }$$1-λ^*$。其中

$\lambda =\lambda (\omega /(1+t))={\int }_0^{\tilde{z}}b(z)dz$$\lambda = \lambda(\omega /(1+t)) = \int_{0}^{\tilde{z}} b(z) d z$

${\lambda }^{\ast }={\lambda }^{\ast }\left(\omega (1+t^{\ast })\right)={\int }_{{\tilde{z}}^{\ast }}^{1}b(z)dz$$\lambda^{*} = \lambda^{*}\left(\omega\left(1+t^{*}\right)\right) = \int_{\tilde{z}^{*}}^{1} b(z) d z$

且

$\frac{d\lambda }{d(\omega /(1+t))}=\frac{d\lambda }{d\tilde{z}}\cdot \frac{d\tilde{z}}{d(\omega /(1+t))}=\frac{b(\tilde{z})}{A^{\prime }(\tilde{z})}<0$$\frac{d \lambda}{d(\omega /(1+t))} = \frac{d \lambda}{d \tilde{z}} \cdot \frac{d \tilde{z}}{d(\omega /(1+t))} = \frac{b(\tilde{z})}{A^{\prime}(\tilde{z})}<0$

$\frac{d{\lambda }^{\ast }}{d\left(\omega (1+t^{\ast })\right)}=\frac{d{\lambda }^{\ast }}{d{\tilde{z}}^{\ast }}\cdot \frac{d{\tilde{z}}^{\ast }}{d\left(\omega (1+t^{\ast })\right)}=-\frac{b\left({\tilde{z}}^{\ast }\right)}{A^{\prime }\left({\tilde{z}}^{\ast }\right)}>0$$\frac{d \lambda^{*}}{d\left(\omega\left(1+t^{*}\right)\right)} = \frac{d \lambda^{*}}{d \tilde{z}^{*}} \cdot \frac{d \tilde{z}^{*}}{d\left(\omega\left(1+t^{*}\right)\right)} = -\frac{b\left(\tilde{z}^{*}\right)}{A^{\prime}\left(\tilde{z}^{*}\right)}>0$

III.C.4 Equilibrium

设本国居民的初始收入为 $wL$$wL$。其中，用于进口的支出为 $(1-\lambda )wL$$(1-λ)wL$。由于这是包含了关税的总支出，故其中外国人收到的部分是 $(1-\lambda )wL\cdot 1/(1+t)$$(1-λ)wL \cdot 1/(1+t)$，本国政府收到的部分是 $(1-\lambda )wL\cdot t/(1+t)$$(1-λ)wL \cdot t/(1+t)$。因关税取之于民用之于民，因此关税转移支付给居民后，会形成本国居民的第二轮收入，而后相应地产生第二轮支出和第二轮关税，直至无穷。

本国居民的总收入为 $Y=wL+(1-\lambda )wL\cdot \frac{t}{1+t}+wL\cdot {[\frac{t}{1+t}\cdot (1-\lambda )]}^2+\cdots =wL\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{[\frac{t}{1+t}\cdot (1-\lambda )]}^n=\frac{1+t}{1+t\lambda }wL$$Y=w L+(1-\lambda) w L \cdot \frac{t}{1+t}+w L \cdot\left[\frac{t}{1+t} \cdot(1-\lambda)\right]^{2}+\cdots=w L \sum_{i=0}^{\infty}\left[\frac{t}{1+t} \cdot(1-\lambda)\right]^{n}=\frac{1+t}{1+t \lambda} w L$

加总所有外国人收到的金额，为本国国际收支账户的借方余额：$wL\cdot \frac{1-\lambda }{1+t}+wL\cdot \frac{t}{1+t}\cdot (1-\lambda )\cdot \frac{1-\lambda }{1+t}+wL\cdot \frac{1-\lambda }{1+t}\cdot {[\frac{t}{1+t}\cdot (1-\lambda )]}^2+\cdots =wL\cdot \frac{1-\lambda }{1+t}\sum _{i+1}^{\mathrm{\infty }}{[\frac{t}{1+t}\cdot (1-\lambda )]}^n=\frac{1-\lambda }{1+t\lambda }wL$$w L \cdot \frac{1-\lambda}{1+t}+w L \cdot \frac{t}{1+t} \cdot(1-\lambda) \cdot \frac{1-\lambda}{1+t}+w L \cdot \frac{1-\lambda}{1+t} \cdot\left[\frac{t}{1+t} \cdot(1-\lambda)\right]^{2}+\cdots = w L \cdot \frac{1-\lambda}{1+t} \sum_{i+1}^{\infty}\left[\frac{t}{1+t} \cdot(1-\lambda)\right]^{n} = \frac{1-\lambda}{1+t \lambda} w L$

相应地，本国国际收支账户的贷方余额（也是外国国际收支账户的借方余额）为 $\frac{1-{\lambda }^{\ast }}{1+t^{\ast }{\lambda }^{\ast }}{w}^{\ast }{L}^{\ast }$$\frac{1-λ^*}{1+t^* λ^* } w^* L^*$

国际收支平衡要求 $\frac{1-\lambda }{1+t\lambda }wL=\frac{1-{\lambda }^{\ast }}{1+t^{\ast }{\lambda }^{\ast }}{w}^{\ast }{L}^{\ast }$$\frac{1-\lambda}{1+t \lambda} w L=\frac{1-λ^*}{1+t^* λ^* } w^* L^*$

即

定义 $\phi (\omega ;L^{\ast }/L,t,t^{\ast })\equiv \frac{1-{\lambda }^{\ast }}{1-\lambda }\cdot \frac{1+t\lambda }{1+t^{\ast }{\lambda }^{\ast }}\cdot \frac{L^{\ast }}{L}$$\varphi\left(\omega ; L^{*} / L, t, t^{*}\right) \equiv \frac{1-\lambda^{*}}{1-\lambda} \cdot \frac{1+t \lambda}{1+t^{*} \lambda^{*}} \cdot \frac{L^{*}}{L}$，由 $\lambda$$λ$ 和 ${\lambda }^{\ast }$$λ^*$ 关于 $\omega$$\omega$ 的导数知，$\partial \phi /\partial \omega <0$$∂φ/∂\omega<0$

则 $\Phi (\omega ;L^{\ast }/L,t,t^{\ast })\equiv \phi (\omega ;L^{\ast }/L,t,t^{\ast })-\omega$$Φ(\omega;L^* /L,t,t^*)≡φ(\omega;L^* /L,t,t^* )-\omega$ 关于 $\omega$$\omega$ 是单调递减的，故 ($\text{6}$$\ref{5}$) 式有唯一解 $\overline{\omega }(L^{\ast }/L,t,t^{\ast })$$\bar{\omega}(L^* /L,t,t^* )$，进而可确定内生的贸易模式和非贸易品范围。

III.C.5 Comparative Statics Analysis

5.1 一国单方面提高关税税率对相对工资的影响⁹

以 $t$$t$ 为自变量，使用与III.B.4相同的方法，将 ($\text{6}$$\ref{5}$) 改写为关于 $t$$t$ 的复合函数形式，即令 $\Phi (t;L^{\ast }/L,t^{\ast })\equiv \phi (\overline{\omega }(t),t;L^{\ast }/L,t^{\ast })-\overline{\omega }(t)=0$$Φ(t;L^* /L,t^* )≡φ(\bar{ω}(t),t;L^* /L,t^* )-\bar{ω}(t)=0$，则有

$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=(\frac{\partial \phi }{\partial \overline{\omega }}-1)\frac{d\overline{\omega }}{dt}+\underset{\partial \phi /\partial t}{\underbrace{\frac{1-{\lambda }^{\ast }}{1+t^{\ast }{\lambda }^{\ast }}\cdot \frac{\lambda (1-\lambda )-\frac{\overline{\omega }}{1+t}\frac{d\lambda }{d(\overline{\omega }/(1+t))}}{(1-\lambda {)}^2}\cdot \frac{L^{\ast }}{L}}}=0$$\frac{d \Phi}{d t}=\left(\frac{\partial \varphi}{\partial \bar{\omega}}-1\right) \frac{d \bar{\omega}}{d t}+\underbrace{\frac{1-\lambda^{*}}{1+t^{*} \lambda^{*}} \cdot \frac{\lambda(1-\lambda)-\frac{\bar{\omega}}{1+t} \frac{d \lambda}{d(\bar{\omega} /(1+t))}}{(1-\lambda)^{2}} \cdot \frac{L^{*}}{L}}_{\partial \varphi / \partial t}=0$

因$d\lambda /d(\overline{\omega }/(1+t))<0\Rightarrow \partial \phi /\partial t>0$$dλ/d(\bar{ω}/(1+t)) <0⇒∂φ/∂t>0$，故必有$d\overline{\omega }/dt>0$$d\bar{ω}/dt>0$. 即本国提高关税率可以改善相对工资和贸易条件。

5.2 一国征收小量关税对福利的影响（最优关税率问题）

初始条件：零关税 $t=t^{\ast }=0$$t=t^*=0$，$\lambda +{\lambda }^{\ast }=1$$λ+λ^*=1$，$\overline{z}={\overline{z}}^{\ast }$$\bar{z}=\bar{z}^*$.

本国征收小量关税后：$t$$t$ 为大于零的无穷小量，$t^{\ast }=0$$t^*=0$，${\lambda }^{\prime }+{\lambda }^{\ast \prime }>1$$λ'+λ^{*\prime}>1$. 本国总收入从 $wL$$wL$ 变为 $Y=(1+t)/(1+t{\lambda }^{\prime })wL$$Y=(1+t)/(1+tλ') wL$，本国典型居民的收入变为 $(1+t)/(1+t{\lambda }^{\prime })w>w$$(1+t)/(1+tλ') w>w$.

购买一直由本国生产的产品的数量从 $C(z)=\frac{b(z)w}{wa(z)}=\frac{b(z)}{a(z)}$$C(z)=\frac{b(z)w}{wa(z)}=\frac{b(z)}{a(z)}$ 变为 $C^{\prime }\left(z\right)=\frac{b\left(z\right)}{wa\left(z\right)}\frac{1+t}{1+t{\lambda }^{\prime }}w=\frac{b\left(z\right)}{a\left(z\right)}\frac{1+t}{1+t{\lambda }^{\prime }}$$C^\prime\left(z\right)=\frac{b\left(z\right)}{wa\left(z\right)}\frac{1+t}{1+t\lambda^\prime}w=\frac{b\left(z\right)}{a\left(z\right)}\frac{1+t}{1+t\lambda^\prime}$, 则 $\frac{C\prime (z)}{C(z)}=\frac{1+t}{1+t\lambda \prime }=1+(1-\lambda \prime )t>1$$\frac{C\prime(z)}{C(z)}=\frac{1+t}{1+t\lambda\prime}=1+\left(1-\lambda\prime\right)t>1$，购买数量增加，$z\in [0,\overline{z}]$$z\in[0,\bar{z}]$；

购买一直由外国生产的产品的数量从 $C\left(z\right)=\frac{b(z)w}{w^{\ast }{a}^{\ast }(z)}=\frac{b(z)\overline{\omega }}{a^{\ast }(z)}$$C\left(z\right)=\frac{b(z)w}{w^\ast a^\ast(z)}=\frac{b(z)\bar{\omega}}{a^\ast(z)}$ 变为 $C^{\prime }\left(z\right)=\frac{b(z)}{{(1+t)w}^{\ast }{a}^{\ast }(z)}\frac{1+t}{1+t\lambda \prime }w=\frac{b(z)}{a^{\ast }(z)}\frac{\overline{\omega }\prime }{1+t\lambda \prime }$$C^\prime\left(z\right)=\frac{b(z)}{{(1+t)w}^\ast a^\ast(z)}\frac{1+t}{1+t\lambda\prime}w=\frac{b(z)}{a^\ast(z)}\frac{\bar{\omega}\prime}{1+t\lambda\prime}$，则 $\frac{C\prime (z)}{C(z)}=\frac{\overline{\omega }\prime }{\overline{\omega }}\frac{1}{1+t\lambda \prime }=1+\frac{∆\omega }{\omega }-{\lambda }^{\prime }t<1$$\frac{C\prime(z)}{C(z)}=\frac{\bar{\omega}\prime}{\bar{\omega}}\frac{1}{1+t\lambda\prime}=1+\frac{∆ω}{ω}-λ't<1$，购买数量减少，$z\in [\overline{z}\prime ,1]$$z\in[\bar{z}\prime,1]$；

此处 $\frac{∆\omega }{\omega }-{\lambda }^{\prime }t<0$$\frac{∆ω}{ω}-λ't<0$ 可以用下一节 III.C 5.3 的方法证明。即由 ($\text{6}$$\ref{5}$) 可得 $\overline{\omega }=\frac{1-{\lambda }^{\ast }}{1-\lambda }\cdot (1+t\lambda )\cdot \frac{L^{\ast }}{L}$$\bar{\omega}=\frac{1-\lambda^\ast}{1-\lambda}\cdot \left(1+t\lambda\right)\cdot \frac{L^\ast}{L}$，取对数并微分，在 $t$$t$ 为无穷小量的条件下整理后有

$(1-\frac{\overline{\omega }b\left(\overline{z}\right)}{{\lambda \lambda }^{\ast }{A}^{\prime }\left(\overline{z}\right)})\frac{d\overline{\omega }}{\overline{\omega }}=(1-\frac{\overline{\omega }b\left(\overline{z}\right)}{{\lambda \lambda }^{\ast }{A}^{\prime }\left(\overline{z}\right)})\lambda dt+\frac{\overline{\omega }b\left(\overline{z}\right)}{{\lambda \lambda }^{\ast }{A}^{\prime }\left(\overline{z}\right)}{\lambda }^{\ast }dt$$\left(1-\frac{\bar{\omega}b\left(\bar{z}\right)}{{\lambda\lambda}^\ast A^\prime\left(\bar{z}\right)}\right)\frac{d\bar{\omega}}{\bar{\omega}}=\left(1-\frac{\bar{\omega}b\left(\bar{z}\right)}{{\lambda\lambda}^\ast A^\prime\left(\bar{z}\right)}\right)\lambda dt+\frac{\bar{\omega}b\left(\bar{z}\right)}{{\lambda\lambda}^\ast A^\prime\left(\bar{z}\right)}\lambda^\ast dt$

因 $A^{\prime }\left(\overline{z}\right)<0$$A^\prime\left(\bar{z}\right)<0$，$\lambda dt$$\lambda dt$ 与 $\lambda \prime dt$$\lambda\prime dt$ 之差 $d\lambda dt$$d\lambda dt$ 为高阶小量，故有

$\frac{d\overline{\omega }}{\overline{\omega }}=\lambda dt+\frac{\overline{\omega }b\left(\overline{z}\right)}{{\lambda \lambda }^{\ast }{A}^{\prime }\left(\overline{z}\right)-\overline{\omega }b\left(\overline{z}\right)}{\lambda }^{\ast }dt={\lambda }^{\prime }dt-d\lambda dt+\frac{\overline{\omega }b\left(\overline{z}\right)}{{\lambda \lambda }^{\ast }{A}^{\prime }\left(\overline{z}\right)-\overline{\omega }b\left(\overline{z}\right)}{\lambda }^{\ast }dt<{\lambda }^{\prime }dt={\lambda }^{\prime }t<t$$\frac{d\bar{\omega}}{\bar{\omega}}=\lambda dt+\frac{\bar{\omega}b\left(\bar{z}\right)}{{\lambda\lambda}^\ast A^\prime\left(\bar{z}\right)-\bar{\omega}b\left(\bar{z}\right)}\lambda^\ast dt=\lambda^\prime dt-d\lambda dt+\frac{\bar{\omega}b\left(\bar{z}\right)}{{\lambda\lambda}^\ast A^\prime\left(\bar{z}\right)-\bar{\omega}b\left(\bar{z}\right)}\lambda^\ast dt<\lambda^\prime dt=\lambda^\prime t<t$

由此还可知必有 ${\overline{z}}^{\prime }>\overline{z}$${\bar{z}}^\prime>\bar{z}$，因此本国的生产范围扩大了。