Scale Economies, Product Differentiation, and the Pattern of Trade

[1] Krugman P R . Scale Economies, Product Differentiation, and the Pattern of Trade[J]. American Economic Review, 1980, 70(5):950-959.

1 Introduction

1. 比较优势理论难以解释的 phenomena

   1. trade volume: 禀赋相似的工业化国家之间的贸易规模很大
   2. trade pattern: 差异化产品（differentiated products¹）

2. 理论界已有共识，新理论应该包含以下要素

   1. (internal) economies of scale
   2. products differentiation
   3. imperfect competition

3. Dixit-Stiglitz (1977) 刚好满足了上述三条要求，可以借鉴到贸易理论中来

   1. Modeling economies of scale: 固定成本和不变的边际成本

      1. $C(x_i)=a+c{x}_i.$$C(x_i )=a+cx_i.$

   2. Modeling preference of diversity: D-S utility function

      1. $u=U[x_0,V(x_1,x_2,\cdots ,x_n)]$$u=U[x_0,V(x_1,x_2,⋯,x_n )]$, separable and homothetic, 并拥有 convex 无差异曲线²。
      2. 忽略收入分配：即假定 $U(\cdot )$$U(⋅)$ 为社会效用函数或代表性消费者的效用函数的加总

   3. Modeling imperfect competition: Chamberlinian³ monopolistic competition

      1. 垄断性：每个厂商均能生产与竞争对手有差异的产品，具有一定的市场势力。厂商面临向右下方倾斜的需求曲线。不存在供给曲线
      2. 竞争性：厂商数量众多，以至于每个单一厂商都不需要考虑自己的定价决策对其他厂商价格的影响，从而不存在（寡头市场中那样的）博弈行为
      3. 垄断竞争模型在贴近现实方面其实表现得并不好，其主要优势在于数学处理上的简单

4. 本文结论

   1. trade pattern

      1. Trade could exists between countries with identical preference, technology and factor endowments.
      2. 具体某产业专业化于哪国，其契机更多是历史的，含有一定的随机性

   2. effect of transportation costs ⇒ New Economic Geography

      1. 考虑运输成本 ⇒ 大国工资较高 ⇒ 下一步就是劳动力的集聚

   3. "home market" effects on trade pattern

      1. Countries tend to export those goods for which they have relatively large domestic markets.

5. 本文不足

   1. 模型假设不够一般化。

2 Basic Model

2.1 Assumption

2.1.1 Demand

A differentiated Products

There is only one industry but many differentiated products which enter the utility function symmetrically.

B identical Preference

typical 消费者的最优化问题为

其中下标 $i$$i$ 表示不同的商品/产业⁴，$c_i$$c_i$ 为单个消费者的消费量⁵。

2.1.3 Production

单要素：劳动。

所有的产品/企业具有相同的成本函数⁶:

其中 $l_i$$l_i$ 为要素（劳动）投入，$x_i$$x_i$ 为产量，其中 $\alpha ,\beta >0$$\alpha, \beta>0$，由此可知

1. 总成本 $T{C}_i=w{l}_i=w\alpha +w\beta x_i$$TC_i=wl_i=w\alpha+w\beta x_i$
2. 边际成本 $M{C}_i=w\beta$$MC_i=w\beta$
3. 平均成本 $A{C}_i=w\beta +w\alpha /x_i$$AC_i=w\beta+w\alpha/x_i$

这种成本结构意味着

1. $\frac{\partial MC}{\partial x}=0$$\frac{\partial MC}{\partial x}=0$，边际成本不变
2. $\frac{\partial AC}{\partial x}<0,\frac{{\partial }^{2}AC}{\partial x^2}>0$$\frac{\partial AC}{\partial x}<0, \frac{\partial^2AC}{\partial x^2}>0$，平均成本随规模扩大而降低
3. increasing returns of scale⁷

2.1.4 Market clearing

商品市场：

要素市场：

2.1.5 Market Structure

Monopolistic competition: firms maximize profits, but free entry and exit make ${\pi }^{\ast }=0$$\pi ^*=0$

2.2 Autarky Equilibrium

2.2.1 上述 monopolistic competition模型的性质

1. 企业进行差异化竞争，each good will be produced by only one firm.
2. 当厂商/产品数量很大时，某单一产品价格的变化对其他产品的需求的影响可以忽略不计（下文将证明这一点）。因而，厂商之间没有相互依赖的策略行为。

2.2.2 Consumer behavior

不严格的简化推导：F.O.C of utility optimization ⇒

与 ($\text{3}$$\ref{3}$) 联立，得

由 ($\text{5}$$\ref{5}$) 知 $\theta c_i^{\theta }=\lambda P_i{c}_i⟹\theta \sum _i{c}_i^{\theta }=\lambda \sum _i{P}_i{c}_i=\lambda w⟹\lambda =\frac{\theta }{w}\sum _i{c}_i^{\theta }$$\theta c_{i}^{\theta} = \lambda P_{i} c_{i} \Longrightarrow \theta \sum_{i} c_{i}^{\theta} = \lambda \sum_{i} P_{i} c_{i} = \lambda w \Longrightarrow \lambda = \frac{\theta}{w} \sum_{i} c_{i}^{\theta}$

当有很多种产品时，企业 $i$$i$ 的生产决策导致的 $c_i^{\theta }$$c_i^\theta$ 的变化对等式右边总和的影响可以忽略，所以 $\lambda$$\lambda$ 可以被视为常数，则 ($\text{6}$$\ref{6}$) 式就是商品 $i$$i$ 的需求函数，从而该需求的价格弹性 $E_i^D\equiv -\frac{d{x}_i/x_i}{d{P}_i/P_i}=\frac{1}{1-\theta }$$E_{i}^{D} \equiv-\frac{d x_{i} / x_{i}}{d P_{i} / P_{i}}=\frac{1}{1-\theta}$ 为常数

严格推导：

已知 $\lambda =\frac{\theta }{w}\sum _i{c}_i^{\theta }$$\lambda = \frac{\theta}{w} \sum_{i} c_{i}^{\theta}$，代回 ($\text{5}$$\ref{5}$) 有 $\frac{\theta c_i^{\theta -1}}{P_i}=\lambda =\frac{\theta }{w}\sum _i{c}_i^{\theta }$$\frac{\theta c_{i}^{\theta-1}}{P_i}=\lambda=\frac{\theta}{w} \sum_{i} c_{i}^{\theta}$

设现有某厂商 $i$$i$ 试图改变价格，考虑对称性，产品 $i$$i$ 之外的产品有相同的价格和消费量，记为 $P$$P$ 和 $c$$c$，则 $c=\frac{w-P_i{c}_i}{(n-1)P}$$c=\frac{w-P_{i} c_{i}}{(n-1) P}$，从而上式可化为

$\frac{w}{P_i}{c}_i^{\theta -1}=c_i^{\theta }+(n-1){\left[\frac{w-P_i{c}_i}{(n-1)P}\right]}^{\theta }$$\frac{w}{P_i} c_{i}^{\theta-1}=c_{i}^{\theta}+(n-1)\left[\frac{w-P_{i} c_{i}}{(n-1) P}\right]^{\theta}$

解 $c_i$$c_i$ 得

$w=[1+(n-1){\left(P_i/P\right)}^{\frac{\theta }{1-\theta }}]P_i{c}_i\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{⟹}(n-1)P_i^{\frac{1}{1-\theta }}{P}^{-\frac{\theta }{1-\theta }}{c}_i$$w=\left[1+(n-1)\left(P_i/P\right)^{\frac{\theta}{1-\theta}} \right]P_ic_i\stackrel{n \rightarrow \infty}{\Longrightarrow}(n-1)P_i^{\frac{1}{1-\theta}}P^{-\frac{\theta}{1-\theta}}c_i$

从而 $x_i=\overline{L}{c}_i=\frac{w\overline{L}}{n-1}{P}^{\frac{\theta }{1-\theta }}{P}_i^{-\frac{1}{1-\theta }}$$x_i=\bar{L}c_i=\frac{w\bar{L}}{n-1}P^{\frac{\theta}{1-\theta}}P_{i}^{-\frac{1}{1-\theta}}$

$E_i^D\equiv -\frac{d{x}_i/x_i}{d{P}_i/P_i}=\frac{1}{1-\theta }=\text{constant}$$E_{i}^{D} \equiv-\frac{d x_{i} / x_{i}}{d P_{i} / P_{i}}=\frac{1}{1-\theta}=\text{constant}$

因此，当产品数量很大时，每个厂商面临的需求曲线（dd曲线）可以近似地视为不变弹性的。

2.2.3 Producer behavior

A 利润最大化

对于一个垄断竞争企业，解最优化问题 $max{\pi }_i\equiv P_i{x}_i-w(\alpha +\beta x_i)$$\max \pi_i \equiv P_ix_i-w(\alpha+\beta x_i)$，可得 F.O.C.

记企业最优化时的 $P_i$$P_i$ 为 $P_i^o$$P_i^o$，则有

所有的 $P_i^o$$P_{i}^{o}$ 相同，可以将之统一定义为 $P$$P$

$x_i^o=w\overline{L}/n{P}_i^o=\theta \overline{L}/\beta n$$x_i^o=w\bar{L}/nP_i^o=\theta\bar{L}/\beta n$，最优产量与企业数量 $n$$n$ 有关

此时的实际工资 $w/P=\theta /\beta$$w/P=\theta/\beta$，完全由外生参数决定

B 零利润

有利润的定义式知 $\frac{\partial {\pi }_i^o}{\partial n}=(P-w\beta )\frac{\partial x_i^o}{\partial n}=-(1-\theta )w\overline{L}/n^2<0$$\frac{\partial \pi_{i}^{o}}{\partial n}=\left(P-w \beta\right) \frac{\partial x_{i}^{o}}{\partial n}=-(1-\theta)w\bar{L}/n^2<0$

故企业数量越大，每个企业的利润越少。均衡时企业获得零利润，单调性决定了有唯一的均衡解。

利用零利润条件 $P=A{C}_i^o=w\beta +w\alpha /x_i^o$$P=AC_i^o=w\beta+w\alpha/x_i^o$ 可解得

故均衡时，有

1. 均衡价格 $P=w\beta {\theta }^{-1}$$P=w \beta \theta^{-1}$
2. 均衡产量 $x\equiv \alpha \theta /\beta (1-\theta )$$x \equiv \alpha \theta / \beta(1-\theta)$
3. 均衡厂商数量 $n=\theta \overline{L}/\beta x=\frac{(1-\theta )\overline{L}}{\alpha }$$n=\theta\bar{L}/\beta x=\frac{(1-\theta)\bar{L}}{\alpha}$

2.2.4 Conclusion

封闭经济达到 General Equilibrium时，有 $(1-\theta )\overline{L}/\alpha$$(1-\theta)\bar{L}/\alpha$ 家厂商，每家使用同样数量的生产要素（雇佣相同的劳动量），生产同样数量的产品，收取同样的实际价格。且只有宏观量 $n$$n$ 与要素禀赋 $\overline{L}$$\bar{L}$ 严格地成正比，微观量 $P,x$$P, x$ 都与要素禀赋 $\overline{L}$$\bar{L}$ 无关，而仅与技术性的外生变量 $\alpha ,\beta ,\theta$$\alpha, \beta, \theta$ 有关。

Notice: 这一结论是非常特殊的！

2.3 Effects of Trade

假设两国的偏好与技术完全相同。

由于不存在运输成本，两国开放后形成了一个统一的大市场，所有厂商面临完全相同的倾斜的需求曲线。均衡时

1. $P=w\beta {\theta }^{-1}$$P=w \beta \theta^{-1}$，价格由企业所在国家的工资决定
2. $x=\alpha \theta /\beta (1-\theta )$$x=\alpha \theta / \beta(1-\theta)$，所有企业产量相同
3. 两国厂商数量：$n=(1-\theta )\overline{L}/\alpha ,n^{\ast }=(1-\theta ){\overline{L}}^{\ast }/\alpha$$n=(1-\theta)\bar{L}/\alpha, n^\ast=(1-\theta)\bar{L}^\ast/\alpha$
4. 最后可以用国际收支平衡条件证明：$w=w^{\ast },P=P^{\ast }$$w=w^\ast, P=P^\ast$

严格证明，需要采取第3部分的方法：首先假设 $w\ne w^{\ast }$$w \neq w^\ast$，然后求本国的国际收支余额，通过其为零证明 $\omega \equiv w/w^{\ast }=P/P^{\ast }=1$$\omega \equiv w/w^\ast=P/P^\ast=1$

具体地，令 $k\equiv {\omega }^{\frac{\theta }{1-\theta }}$$k\equiv \omega^{\frac{\theta}{1-\theta}}$，则由

$B\equiv \frac{EX-IM}{w^{\ast }}=\frac{k^{-1}n}{n^{\ast }+k^{-1}n}{\overline{L}}^{\ast }-\frac{k{n}^{\ast }}{n+k{n}^{\ast }}\omega \overline{L}=\overline{L}{\overline{L}}^{\ast }\frac{1-\omega k}{\overline{L}+k{\overline{L}}^{\ast }}=0$$B \equiv \frac{E X-I M}{w^{*}}=\frac{k^{-1} n}{n^{*}+k^{-1} n} \bar{L}^{*}-\frac{k n^{*}}{n+k n^{*}} \omega \bar{L}=\bar{L} \bar{L}^{*} \frac{1-\omega k}{\bar{L}+k \bar{L}^{*}}=0$

可知 $1-\omega k=1-{\omega }^{\frac{1}{1-\theta }}=0$$1-\omega k=1-\omega^{\frac{1}{1-\theta}}=0$

故有 $\omega =1$$\omega=1$

2.3.1 Volume of Trade

此时每个国家进口的金额都是 $\frac{n^{\ast }}{n+n^{\ast }}w\overline{L}=\frac{n}{n+n^{\ast }}w{\overline{L}}^{\ast }=\frac{\overline{L}{\overline{L}}^{\ast }}{\overline{L}+{\overline{L}}^{\ast }}w$$\frac{n^{*}}{n+n^{*}} w \bar{L}=\frac{n}{n+n^{*}} w \bar{L}^{*}=\frac{\bar{L} \bar{L}^{*}}{\bar{L}+\bar{L}^{*}} w$

2.3.2 Gains from Trade

每个消费者对单一品种商品的消费量减少，从 $x/\overline{L}$$x/\bar{L}$ 或 $x/{\overline{L}}^{\ast }$$x/\bar{L}^\ast$ 变为 $x/(\overline{L}+{\overline{L}}^{\ast })$$x/(\bar{L}+\bar{L}^\ast)$，但对所有 differentiated products 的总消费量不变，仍为 $w/P=\theta /\beta$$w/P=\theta/\beta$

autarky 时的效用 $U=n{c}^{\theta }=n^{1-\theta }{\left(nc\right)}^{\theta }=n^{1-\theta }{\left(w/P\right)}^{\theta }=\underset{\text{产品多样性 }}{\underbrace{n^{1-\theta }}}\cdot \underset{\text{实际工资 }}{\underbrace{(\theta /\beta {)}^{\theta }}}$$U=n c^{\theta}=n^{1-\theta}\left(nc\right)^\theta=n^{1-\theta}\left(w/P\right)^\theta=\underbrace{n^{1-\theta}}_{\text {产品多样性 }} \cdot \underbrace{(\theta / \beta)^{\theta}}_{\text {实际工资 }}$

贸易后的效用 $U={(n+n^{\ast })}^{1-\theta }(\theta /\beta {)}^{\theta }$$U=\left(n+n^{*}\right)^{1-\theta}(\theta / \beta)^{\theta}$

福利的改善有两种来源：产品的多样性增加和实际工资的上升。此处，因第二项实际工资不变，The gains from trade come solely through increased product diversify

3 Transport Costs

3.1 Individual Behavior

3.1.1 Iceberg 型运输费用

生产者获得消费者支出的全部，但消费者仅收到生产者所发出货品的一部分，比例为$g\in (0,1)$$g∈(0,1)$ ，其余部分在路途中损耗。

这种设定是一种简化：不再需要将运输、保险费用分配给消费者和生产者以外的第三方，因而可以不在经济模型中加入运输、保险部门。

3.1.2 生产者面对的需求曲线的弹性

设有外国产品 $j$$j$，typical 本国消费者对其的消费量为 $c_j$$c_j$，typical 外国消费者对其的消费量为 $c_j^{\ast }$$c_j^\ast$，外国消费者面对（和外国生产者收取）的价格为 $P_j^{\ast }$$P_j^\ast$，则本国消费者面对的到岸价格 c.i.f.⁸ price 为 $\widehat{P_j^{\ast }}=P_j^{\ast }/g$$\widehat{P_j^{*}}=P_j^{*} / g$（买到的货缩水了，相当于单价提高了）。本国进口量为 $I{M}_j=\overline{L}{c}_j$$IM_j=\bar{L}c_j$，外国出口量为 $E{X}_j=I{M}_j/g$$EX_j=IM_j/g$，外国消费者对其消费的总量为 $x_j^{\ast }$$x_j^\ast$，两国消费者对其消费的总量为 $D_j$$D_j$.

结合上述定义，由本国消费者的最优化过程可得：

$\lambda \widehat{P_j^{\ast }}=\theta c_j^{\theta -1}\Rightarrow E{X}_j=\overline{L}{c}_j/g=\overline{L}{\left(\frac{\lambda }{\theta g^{\theta }}\right)}^{\frac{1}{\theta -1}}{\left(P_j^{\ast }\right)}^{\frac{1}{\theta -1}}$$\lambda \widehat{P_{j}^{*}}=\theta c_{j}^{\theta-1} \Rightarrow E X_{j}=\bar{L} c_{j} / g=\bar{L}\left(\frac{\lambda}{\theta g^{\theta}}\right)^{\frac{1}{\theta-1}} \left(P_{j}^{*}\right)^{\frac{1}{\theta-1}}$

由外国消费者的最优化过程可得：

${\lambda }^{\ast }{P}_j^{\ast }=\theta {\left(c_j^{\ast }\right)}^{\theta -1}\Rightarrow x_j^{\ast }={\overline{L}}^{\ast }{c}_j^{\ast }={\overline{L}}^{\ast }{\left(\frac{{\lambda }^{\ast }}{\theta }\right)}^{\frac{1}{\theta -1}}{\left(P_j^{\ast }\right)}^{\frac{1}{\theta -1}}$$\lambda^{*} P_{j}^{*}=\theta \left(c_{j}^{*}\right)^{\theta-1} \Rightarrow x_{j}^{*}=\bar{L}^* c_{j}^{*}=\bar{L}^{*}\left(\frac{\lambda^{*}}{\theta}\right)^{\frac{1}{\theta-1}} \left(P_{j}^{*}\right)^{\frac{1}{\theta-1}}$

$\therefore D_j=x_j^{\ast }+E{X}_j=[\overline{L}{\left(\frac{\lambda }{\theta g^{\theta }}\right)}^{\frac{1}{\theta -1}}+{\overline{L}}^{\ast }{\left(\frac{{\lambda }^{\ast }}{\theta }\right)}^{\frac{1}{\theta -1}}]{\left(P_j^{\ast }\right)}^{\frac{1}{\theta -1}}$$\therefore D_j=x_j^\ast+EX_j=\left[\bar{L}\left(\frac{\lambda}{\theta g^{\theta}}\right)^{\frac{1}{\theta-1}}+\bar{L}^\ast\left(\frac{\lambda^{*}}{\theta}\right)^{\frac{1}{\theta-1}}\right]\left(P_{j}^{*}\right)^{\frac{1}{\theta-1}}$

与第 2 部分同样的理由，可以认为当厂商数量众多且只有一家厂商改变生产决策时，$\lambda$$\lambda$ 和 ${\lambda }^{\ast }$$\lambda^\ast$ 均为常数，则生产产品 $j$$j$ 的厂商面对的需求曲线的弹性仍为 $1/(1-\theta )$$1/(1-\theta)$ ，结合 ($\text{7}$$\ref{7}$)($\text{8}$$\ref{8}$) 两式知，仍有

$P_i=P=w\beta /\theta ,P_j^{\ast }=P^{\ast }=w^{\ast }\beta /\theta$$P_i=P=w \beta / \theta, P_j^{\ast}=P^{*}=w^{*} \beta / \theta$

从而

借鉴 ($\text{9}$$\ref{9}$) ，同样可推出 $D_i^o=D_j^o=\alpha \theta /\beta (1-\theta )$$D_{i}^{o}=D_{j}^{o}=\alpha \theta / \beta(1-\theta)$，即General Equilibrium时，每个厂商的产量均为 $D\equiv \alpha \theta /\beta (1-\theta )$$D\equiv \alpha \theta / \beta(1-\theta)$，从而

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}n=\frac{\overline{L}}{\alpha +\beta D}=\frac{(1-\theta )\overline{L}}{\alpha }\\ n^{\ast }=\frac{{\overline{L}}^{\ast }}{\alpha +\beta D}=\frac{(1-\theta ){\overline{L}}^{\ast }}{\alpha }\end{array}\}\Rightarrow \frac{n}{n^{\ast }}=\frac{\overline{L}}{{\overline{L}}^{\ast }}\end{array}$$\left.\begin{matrix} n = \frac{\bar{L}}{\alpha+\beta D} = \frac{(1-\theta) \bar{L}}{\alpha} \\ n^{*} = \frac{\bar{L}^{*}}{\alpha+\beta D} = \frac{(1-\theta) \bar{L}^{*}}{\alpha} \end{matrix}\right\} \Rightarrow \frac{n}{n^{*}} = \frac{\bar{L}}{\bar{L}^{*}}$

3.1.3 预算在本国产品与外国产品之间的分配

记 typical 本国消费者对本国产品的消费量为 $c$$c$，对外国产品的实际消费量为 $\widehat{c^{\ast }}$$\widehat{c^*}$；相应地，typical 外国消费者对外国产品的消费量为 $c^{\ast }$$c^\ast$，对本国产品的实际消费量为 $\hat{c}$$\widehat{c}$.

由 ($\text{5}$$\ref{5}$) 知

$\frac{\widehat{c^{\ast }}}{c}={\left(\frac{P}{\widehat{P^{\ast }}}\right)}^{\frac{1}{1-\theta }}={\left(\frac{P}{P^{\ast }/g}\right)}^{\frac{1}{1-\theta }}$$\frac{\widehat{c^{*}}}{c}=\left(\frac{P}{\widehat{P^{*}}}\right)^{\frac{1}{1-\theta}}=\left(\frac{P}{P^{*} / g}\right)^{\frac{1}{1-\theta}}$

考虑 typical 本国消费者对 foreign product 的总需求(实际消费的和路途损耗的，direct and indirect demand) 和对 domestic product 的需求，将二者的比例定义为 $\sigma$$\sigma$，即

同理，typical 外国消费者对 domestic product 的总需求与对 foreign product 的需求的比例为

${\sigma }^{\ast }\equiv \frac{\hat{c}/g}{c^{\ast }}={\left(\frac{P^{\ast }}{P}\right)}^{\frac{1}{1-\theta }}{g}^{\frac{\theta }{1-\theta }}={\left(\frac{P}{P^{\ast }}\right)}^{-\frac{1}{1-\theta }}{g}^{\frac{\theta }{1-\theta }}$$\sigma^{*} \equiv \frac{\hat{c} / g}{c^{*}}=\left(\frac{P^{*}}{P}\right)^{\frac{1}{1-\theta}} g^{\frac{\theta}{1-\theta}}=\left(\frac{P}{P^{*}}\right)^{-\frac{1}{1-\theta}} g^{\frac{\theta}{1-\theta}}$

本国消费者预算约束为 $nPc+n^{\ast }\widehat{P^{\ast }}\widehat{c^{\ast }}=w$$n P c+n^{*} \widehat{P^{*}} \widehat{c^{*}}=w$

由 ($\text{11}$$\ref{11}$) 知 $\widehat{c^{\ast }}=\sigma cg$$\widehat{c^\ast}=\sigma c g$，再加上 $\widehat{P^{\ast }}=P^{\ast }/g$$\widehat{P^\ast}=P^\ast/g$，代入上式，化为

对称地，外国消费者的预算约束为

$(n^{\ast }{P}^{\ast }+{\sigma }^{\ast }nP)c^{\ast }=w^{\ast }$$\left(n^{*} P^{*}+\sigma^{*} n P\right) c^{*}=w^{*}$

3.1.4 Volume of Trade

由 ($\text{12}$$\ref{12}$) 知，本国进口金额为 $IM=\frac{\sigma n^{\ast }{P}^{\ast }}{nP+\sigma n^{\ast }{P}^{\ast }}w\overline{L}$$I M=\frac{\sigma n^{*} P^{*}}{n P+\sigma n^{*} P^{*}} w \bar{L}$

同理，外国进口金额，也是本国出口金额为 $EX=\frac{{\sigma }^{\ast }nP}{n^{\ast }{P}^{\ast }+{\sigma }^{\ast }nP}{w}^{\ast }{\overline{L}}^{\ast }$$E X=\frac{\sigma^{*} n P}{n^{*} P^{*}+\sigma^{*} n P} w^{*} \bar{L}^{*}$

3.2 Determination of General Equilibrium

3.2.1 国际收支平衡

定义 $\omega \equiv w/w^{\ast }=P/P^{\ast }$$\omega \equiv w/w^\ast=P/P^\ast$，则 $\sigma ={\omega }^{\frac{1}{1-\theta }}{g}^{\frac{\theta }{1-\theta }},{\sigma }^{\ast }={\omega }^{-\frac{1}{1-\theta }}{g}^{\frac{\theta }{1-\theta }}$$\sigma=\omega^{\frac{1}{1-\theta}} g^{\frac{\theta}{1-\theta}}, \sigma^{*}=\omega^{-\frac{1}{1-\theta}} g^{\frac{\theta}{1-\theta}}$

定义 $B$$B$ 为国际收支余额（以外国工资水平 $w^{\ast }$$w^\ast$ 进行标准化），则⁹

$\begin{array}{ll}B& \equiv \frac{EX-IM}{w^{\ast }}\\ & =\frac{{\sigma }^{\ast }nP}{n^{\ast }{P}^{\ast }+{\sigma }^{\ast }nP}{\overline{L}}^{\ast }-\frac{\sigma n^{\ast }{P}^{\ast }}{nP+\sigma n^{\ast }{P}^{\ast }}\omega \overline{L}=\frac{{\sigma }^{\ast }\overline{L}\omega }{{\overline{L}}^{\ast }+{\sigma }^{\ast }\overline{L}\omega }{\overline{L}}^{\ast }-\frac{\sigma {\overline{L}}^{\ast }}{\overline{L}\omega +\sigma {\overline{L}}^{\ast }}\omega \overline{L}\\ & =\omega \overline{L}{\overline{L}}^{\ast }(\frac{{\sigma }^{\ast }}{{\overline{L}}^{\ast }+{\sigma }^{\ast }\overline{L}\omega }-\frac{\sigma }{\overline{L}\omega +\sigma {\overline{L}}^{\ast }})=\overline{L}{\overline{L}}^{\ast }(\frac{1}{\overline{L}+\frac{{\overline{L}}^{\ast }}{\omega {\sigma }^{\ast }}}-\frac{1}{\frac{\overline{L}}{\sigma }+\frac{{\overline{L}}^{\ast }}{\omega }})\\ & =\overline{L}{\overline{L}}^{\ast }(\frac{1}{\overline{L}+{\overline{L}}^{\ast }{g}^{-\frac{\theta }{1-\theta }}{\omega }^{\frac{\theta }{1-\theta }}}-\frac{1}{\overline{L}{g}^{-\frac{\theta }{1-\theta }}{\omega }^{-\frac{1}{1-\theta }}+{\overline{L}}^{\ast }{\omega }^{-1}})\end{array}$$\begin{array}{l} B &\equiv \frac{E X-I M}{w^{*}} \\ &= \frac{\sigma^{*} n P}{n^{*} P^{*}+\sigma^{*} n P} \bar{L}^{*}-\frac{\sigma n^{*} P^{*}}{n P+\sigma n^{*} P^{*}} \omega \bar{L} = \frac{\sigma^{*} \bar{L} \omega}{\bar{L}^{*}+\sigma^{*} \bar{L} \omega} \bar{L}^{*}-\frac{\sigma \bar{L}^{*}}{\bar{L} \omega+\sigma \bar{L}^{*}} \omega \bar{L} \\ &= \omega \bar{L} \bar{L}^{*}\left(\frac{\sigma^{*}}{\bar{L}^{*}+\sigma^{*} \bar{L} \omega}-\frac{\sigma}{\bar{L} \omega+\sigma \bar{L}^{*}}\right) = \bar{L} \bar{L}^{*}\left(\frac{1}{\bar{L}+\frac{\bar{L}^{*}}{\omega \sigma^{*}}}-\frac{1}{\frac{\bar{L}}{\sigma}+\frac{\bar{L}^{*}}{\omega}}\right) \\ &= \bar{L} \bar{L}^{*}\left(\frac{1}{\bar{L}+\bar{L}^{*} g^{-\frac{\theta}{1-\theta}} \omega^{\frac{\theta}{1-\theta}}}-\frac{1}{\bar{L} g^{-\frac{\theta}{1-\theta}} \omega^{-\frac{1}{1-\theta}}+\bar{L}^{*} \omega^{-1}}\right) \end{array}$

最后一个括号中，前一项为 $\omega$$\omega$ 的减函数，后一项为 $\omega$$\omega$ 的增函数，则二者之差为 $\omega$$\omega$ 的减函数，故 $B$$B$ 为 $\omega$$\omega$ 的单调减函数。国际收支平衡条件 $B=0$$B=0$ 可决定一般均衡下的相对工资水平 $\omega$$\omega$，这个值是唯一的。

3.2.2 大国工资水平更高、贸易条件更有利

令 $\gamma \equiv g^{\frac{\theta }{1-\theta }}$$\gamma \equiv g^{\frac{\theta}{1-\theta}}$，则有 $\gamma <1$$\gamma<1$.

设 $\overline{L}>{\overline{L}}^{\ast }$$\bar{L}>\bar{L}^\ast$，当 $\omega =1$$\omega=1$ 时

$B=\overline{L}{\overline{L}}^{\ast }(\frac{g^{\frac{\theta }{1-\theta }}}{{\overline{L}}^{\ast }+g^{\frac{\theta }{1-\theta }}\overline{L}}-\frac{g^{\frac{\theta }{1-\theta }}}{\overline{L}+g^{\frac{\theta }{1-\theta }}{\overline{L}}^{\ast }})=\overline{L}{\overline{L}}^{\ast }(\frac{\gamma }{{\overline{L}}^{\ast }+\gamma \overline{L}}-\frac{\gamma }{\overline{L}+\gamma {\overline{L}}^{\ast }})=\gamma \overline{L}{\overline{L}}^{\ast }\frac{(1-\gamma )(\overline{L}-{\overline{L}}^{\ast })}{(\gamma \overline{L}+{\overline{L}}^{\ast })(\overline{L}+\gamma {\overline{L}}^{\ast })}>0$$B=\bar{L} \bar{L}^{*}\left(\frac{g^{\frac{\theta}{1-\theta}}}{\bar{L}^{*}+g^{\frac{\theta}{1-\theta} }\bar{L}}-\frac{g^{\frac{\theta}{1-\theta}}}{\bar{L}+g^{\frac{\theta}{1-\theta} }\bar{L}^{*}}\right)=\bar{L} \bar{L}^{*}\left(\frac{\gamma}{\bar{L}^{*}+\gamma \bar{L}}-\frac{\gamma}{\bar{L}+\gamma \bar{L}^{*}}\right)=\gamma \bar{L} \bar{L}^{*} \frac{(1-\gamma)\left(\bar{L}-\bar{L}^{*}\right)}{\left(\gamma \bar{L}+\bar{L}^{*}\right)\left(\bar{L}+\gamma \bar{L}^{*}\right)}>0$

由于 $dB/d\omega <0$$dB/d\omega<0$，所以 $B=0$$B=0$ 时必有 $\omega >1$$\omega>1$，即 $w>w^{\ast }$$w>w^\ast$ 和 $P>P^{\ast }$$P>P^\ast$

因此，$\overline{L}>{\overline{L}}^{\ast }\Rightarrow w>w^{\ast },P>P^{\ast }$$\bar{L}>\bar{L}^\ast \Rightarrow w>w^\ast, P>P^\ast$，大国工资水平更高、贸易条件更有利

需要注意的是，大国效应体现在系数 $\gamma$$\gamma$ 与禀赋 $\overline{L},{\overline{L}}^{\ast }$$\bar{L}, \bar{L}^\ast$ 的结合位置上，而 $\gamma$$\gamma$ 唯一的自变量 $g$$g$ 又仅仅是运输成本的标志，故大国效应完全是运输成本的结果¹⁰：无运输成本时平衡的国际收支，在加入运输成本后，会由于消费者对本国产品的需求更强，大国进口的缩减额大于大国出口（小国进口）的缩减额¹¹，从而导致国际收支不再平衡（缩减后大国的出口大于进口）。只有 $\omega >1$$\omega>1$ 从而 $P>P^{\ast }$$P>P^\ast$ 时，才能 offset 上述效应，抑制小国进口而鼓励大国进口，最终达成国际收支平衡

4 "Home Market" Effects on the Pattern of Trade

4.1 "Home Market" Effects

生活直觉：产品的生产集中于其最主要市场所在地。

经济学表达：Countries will tend to export the goods for which they have large domestic markets. 或者说，本国对一种商品的偏好越强烈，这种商品越可能是出口品而非进口品。

原因：（1）集中生产，实现规模经济；（2）临近主要市场，节约运输成本。

本文将对此给出一个严格证明¹²。

4.2 Two-Industry Autarky Equilibrium

4.2.1 封闭经济

A 两个产业

两类产品，每一类都有很多种（There are two classes of products with many differentiated products within each class）

B 两类消费者

第一类消费者的数量为 $L$$L$，仅从第一类产品中获得效用，对每种产品的需求为 $c_i,i=1,2,\cdots ,n$$c_i, i=1,2, \cdots, n$. 第二类消费者的数量为 $\tilde{L}$$\tilde{L}$，仅从第二类产品中获得效用，对每种产品的需求为 $\widetilde{c_j},j=1,2,\cdots ,\tilde{n}$$\tilde{c_j}, j=1,2, \cdots, \tilde{n}$. 这种建模方式用两类消费者的比例模拟了一个国家的偏好。

消费者最优化问题：

$\begin{array}{c}maxU=\sum _{i=1}^n{c}_i^{\theta },max\tilde{U}=\sum _{j=1}^{\tilde{n}}{\tilde{c}}_j^{\theta },0<\theta <1\\ \text{s.t. }{x}_i=L{c}_i,{\tilde{x}}_j=\tilde{L}{\tilde{c}}_j\end{array}$$\begin{array}{c} \max U = \sum_{i = 1}^{n} c_{i}^{\theta}, \max \widetilde{U} = \sum_{j = 1}^{\tilde{n}} \tilde{c}_{j}^{\theta}, 0<\theta<1 \\ \text{s.t. } x_{i} = L c_{i}, \tilde{x}_{j} = \tilde{L} \tilde{c}_{j} \end{array}$

C 生产函数

$\begin{array}{l}{l}_i=\alpha +\beta x_i,\mathrm{\forall }i\\ {\tilde{l}}_j=\alpha +\beta {\tilde{x}}_j,\mathrm{\forall }j\\ \alpha ,\beta >0\end{array}$$\begin{array}{l} l_{i}=\alpha+\beta x_{i}, \forall i\\ \tilde{l}_{j}=\alpha+\beta \tilde{x}_{j}, \forall j\\ \alpha, \beta>0\end{array}$

D 禀赋条件

$\sum _{i=1}^n{l}_i+\sum _{j=1}^{\tilde{n}}{\tilde{l}}_j=L+\tilde{L}=\overline{L}$$\sum_{i=1}^{n} l_{i}+\sum_{j=1}^{\tilde{n}} \tilde{l}_{j}=L+\tilde{L}=\bar{L}$

E 预算约束

$\begin{array}{l}nPx=wL\\ \tilde{n}\tilde{P}\tilde{x}=\tilde{w}\tilde{L}\end{array}$$\begin{array}{l} n P x=w L \\ \tilde{n} \tilde{P} \tilde{x}=\widetilde{w} \tilde{L} \end{array}$

4.2.2 一般均衡

一国之内工资相等，$w=\tilde{w}$$w=\tilde{w}$，进而由 ($\text{8}$$\ref{8}$)($\text{9}$$\ref{9}$) 两式知必有价格相等和产量相等，从而

$\frac{n}{\tilde{n}}=\frac{L}{\tilde{L}}$$\frac{n}{\tilde{n}}=\frac{L}{\tilde{L}}$

即每个产业的产品种类之比等于相应类别人口数量（实为一国居民总体偏好程度）之比。

4.3 Demand and the Trade Pattern: A Simple Case

4.3.1 模型设定

1. Two-industry
2. Transport cost of iceberg type
3. "mirror image" assumption: 两国要素数量相同而偏好恰好相反: $\begin{array}{c}L+\tilde{L}=L^{\ast }+{\tilde{L}}^{\ast }=\overline{L}\\ L={\tilde{L}}^{\ast }\\ \tilde{L}=L^{\ast }\end{array}$$\begin{array}{c} L+\tilde{L}=L^{*}+\tilde{L}^{*}=\bar{L} \\ L=\tilde{L}^{*} \\ \tilde{L}=L^{*} \end{array}$

两国的对称性⇒ 两国的工资、产品（离岸）价格、每个产品的产量完全相等，从而 $\sigma ={\sigma }^{\ast }=g^{\frac{\theta }{1-\theta }}<1$$\sigma=\sigma^{*}=g^{\frac{\theta}{1-\theta}}<1$

本国第一产业从业者的总收入等于两国第一类消费者对本国第一类产品的总支出，约掉相同的价格和工资后可以写成

同样，外国第一产业从业者的总收入等于两国第一类消费者对外国第一类产品的总支出，即

若 $n$$n$ 和 $n^{\ast }$$n^\ast$ 均非零，令 ($\text{13}$$\ref{13}$)($\text{14}$$\ref{14}$) 两式相除，消去 $Px$$Px$，可以得到

进一步化为

$\frac{n}{n^{\ast }}=\frac{L/L^{\ast }-\sigma }{1-\sigma \left(L/L^{\ast }\right)}=\frac{1}{\sigma }+\frac{1/\sigma -1}{1-\sigma \left(L/L^{\ast }\right)}$$\frac{n}{n^{*}}=\frac{L / L^{*}-\sigma}{1-\sigma\left(L / L^{*}\right)}=\frac{1}{\sigma}+\frac{1 / \sigma-1}{1-\sigma\left(L / L^{*}\right)}$

这是一条双曲线，且 $L/L^{\ast }=1$$L/L^\ast=1$ 时也有 $n/n^{\ast }=1$$n/n^\ast=1$

图1

4.3.2 Trade Pattern：完全专业化生产

当 $L⁄L^{\ast }\in [0,\sigma ]\cup [1⁄\sigma ,+\infty ]$$L⁄L^* ∈[0,σ]∪[1⁄σ,+∞]$ 时，两国将实现专业化生产，$n$$n$ 和 $n^{\ast }$$n^*$ 有一个为零。即若两国的偏好差异足够大，它们都会专业化生产并出口本国市场相对较大¹³的产品种类。

下面证明当 $L/L^{\ast }<\sigma$$L/L^* <σ$ 时，$n=0$$n=0$，本国专业化生产第二类产品，外国专业化生产第一类产品，这是一个均衡。

若本国某企业试图生产第一类产品，则 $n=1$$n=1$. 此时，外国生产第一类产品的一家企业的营业收入（用工资水平 $w$$w$ 进行标准化）为

$\frac{R^{\ast }}{n^{\ast }w}=\frac{\sigma }{n+\sigma n^{\ast }}L+\frac{1}{\sigma n+n^{\ast }}{L}^{\ast }=\frac{\sigma }{1+\sigma n^{\ast }}L+\frac{1}{\sigma +n^{\ast }}{L}^{\ast }$$\frac{R^{*}}{n^{*} w}=\frac{\sigma}{n+\sigma n^{*}} L+\frac{1}{\sigma n+n^{*}} L^{*}=\frac{\sigma}{1+\sigma n^{*}} L+\frac{1}{\sigma+n^{*}} L^{*}$

当 $n^{\ast }\to \mathrm{\infty }$$n^\ast \to \infty$ 时，$\frac{R^{\ast }}{n^{\ast }w}\to \frac{L+L^{\ast }}{n^{\ast }}$$\frac{R^{*}}{n^{*} w} \rightarrow \frac{L+L^{*}}{n^{*}}$

而本国该企业的营业收入（用工资水平 $w$$w$ 进行标准化）为

$\frac{R}{nw}=\frac{1}{n+\sigma n^{\ast }}L+\frac{\sigma }{\sigma n+n^{\ast }}{L}^{\ast }=\frac{1}{1+\sigma n^{\ast }}L+\frac{\sigma }{\sigma +n^{\ast }}{L}^{\ast }$$\frac{R}{n w}=\frac{1}{n+\sigma n^{*}} L+\frac{\sigma}{\sigma n+n^{*}} L^{*}=\frac{1}{1+\sigma n^{*}} L+\frac{\sigma}{\sigma+n^{*}} L^{*}$

当 $n^{\ast }\to \mathrm{\infty }$$n^\ast \to \infty$ 时，$\frac{R}{nw}\to \frac{{\sigma }^{-1}L+\sigma L^{\ast }}{n^{\ast }}$$\frac{R}{n w} \rightarrow \frac{\sigma^{-1}L+\sigma L^{*}}{n^{*}}$

当 $L/L^{\ast }<\sigma$$L/L^\ast<\sigma$ 时，本国该企业的营业收入与外国企业营业收入的比例为

$\frac{R}{nw}/\frac{R^{\ast }}{n^{\ast }w}=\frac{{\sigma }^{-1}L+\sigma L^{\ast }}{L+L^{\ast }}<1$$\frac{R}{n w} / \frac{R^{*}}{n^{*} w}=\frac{\sigma^{-1} L+\sigma L^{*}}{L+L^{*}}<1$

因均衡时外国企业的利润为零，故在存在规模经济的成本结构下，以相同的价格、产量和成本，本国该企业将是亏损的，从而不会有本国企业试图生产第一类产品。

$\therefore L/L^{\ast }<0$$\therefore L/L^\ast<0$ 时，$n=0$$n=0$ 是一个均衡状态。

4.3.3 Trade Pattern：不完全专业化生产

当 $L/L^{\ast }\in (\sigma ,1⁄\sigma )$$L/L^* ∈(σ,1⁄σ)$ 时，两国都生产两类产品，$n$$n$ 和 $n^{\ast }$$n^*$ 均不为零。注意到 $\sigma$$σ$ 越小，不完全专业化的范围越大。而 $\sigma =g^{\theta /(1-\theta )}$$σ=g^{θ/(1-θ)}$，$g$$g$ 度量运输成本的大小，$\theta /(1-\theta )$$θ/(1-θ)$ 则度量规模经济的显著程度¹⁴。因此，运输成本越大（$g$$g$ 越小）、规模经济越不显著（$\theta /(1-\theta )$$θ/(1-θ)$ 越大），则允许两国不完全专业化生产的（偏好）范围越大（$\sigma$$σ$ 越小），不完全专业化越有可能发生；相反，运输成本越小、规模经济越显著，完全专业化越可能发生¹⁵。

不完全专业化时，本国第一类产品的贸易余额（trade balance）为

$B_{\alpha }\equiv E{X}_{\alpha }-I{M}_{\alpha }=\frac{\sigma n}{n^{\ast }+\sigma n}w{L}^{\ast }-\frac{\sigma n^{\ast }}{n+\sigma n^{\ast }}wL=w{L}^{\ast }(\frac{\sigma n}{n^{\ast }+\sigma n}-\frac{\sigma n^{\ast }}{n+\sigma n^{\ast }}\frac{L}{L^{\ast }})$$B_{\alpha} \equiv E X_{\alpha}-I M_{\alpha}=\frac{\sigma n}{n^{*}+\sigma n} w L^{*}-\frac{\sigma n^{*}}{n+\sigma n^{*}} w L=w L^{*}\left(\frac{\sigma n}{n^{*}+\sigma n}-\frac{\sigma n^{*}}{n+\sigma n^{*}} \frac{L}{L^{*}}\right)$

代入 ($\text{15}$$\ref{15}$) 得 $B_{\alpha }=\frac{\sigma w{L}^{\ast }}{n^{\ast }+\sigma n}(n-n^{\ast })$$B_{\alpha}=\frac{\sigma w L^{*}}{n^{*}+\sigma n}\left(n-n^{*}\right)$

由图1知 $L/L^{\ast }>1\Rightarrow n>n^{\ast }\Rightarrow B_{\alpha }>0$$L/L^* >1⇒n>n^*⇒B_α>0$，虽然两国都会进口和出口两类产品，但拥有某类产品较大国内市场需求的国家会成为该类产品的净出口国。

4.4 Generalizations and Extensions

4.4.1 放松“mirror image” assumption

A 任意设定要素数量和偏好

B 结果

1. 两国工资不等
2. Each country will be a net exporter in the industry for whose goods it has a relatively larger demand.

4.4.2 放松产业对称地假设

A 假设

1. $\alpha$$\alpha$ 产业有规模经济、有运输成本、垄断竞争
2. $\beta$$\beta$ 产业规模报酬不变、无运输成本、完全竞争。

B 结果

1. $\beta$$\beta$ 产业将保证两国工资一致
2. 在 $\alpha$$\alpha$ 产业上有更大国内市场的国家将会净出口 $\alpha$$\alpha$ 产业的产品，净进口 $\beta$$\beta$ 产业的产品