1 Constant-Elasticity Case

1.1 需求侧：求解 Demand Functions

1.1.1 两阶段最优化问题

\[ \begin{align} & \max _{x} U\left[x_{0},\left(\sum_{i} x_{i}^{\rho}\right)^{1 / \rho}\right], \rho \in(0,1) \\ & \text {s.t. } x_{0}+\sum_{i} P_{i} x_{i}=I \end{align} \]

1.1.2 第一阶段最优化：部门之间的消费选择

由于 \(U[x_0,V(x_1,x_2,⋯,x_n)]\) is separable，可以使用两阶段最优化方法，在第一阶段引入数量指数和价格指数，仅讨论部门之间抉择的最优化。

令数量指数 \(y \equiv\left(\sum_{i} x_{i}^{\rho}\right)^{1 / \rho}\)，价格指数 \(q \equiv \frac{\sum_{i} P_{i} x_{i}}{\left(\sum_{i} x_{i}^{\rho}\right)^{1 / \rho}}\)，则问题化为

\[ \begin{aligned} & \max _{x_0,y} u=U\left(x_{0}, y\right) \\ & \text { s.t. } x_{0}+q y=I \end{aligned} \]

解之，令 \(\mathcal{L} \equiv U(x_0,y)+λ(I-x_0-qy)\)，则有

\[ \begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{0}} &=U_{0}-\lambda=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} &=U_{y}-\lambda q=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} &=I-x_{0}-q y=0 \end{aligned} \]

从而有 \(U_y/U_0=q\). 若把 \(q\) 视为参数，则由于 \(U(·)\) 的同位性（C-D形式是一种简单的特例），必有最优化时的 \((y/x_0 )^*\) 仅为 \(q\) 的函数，而与 \(I\) 无关。从而 \((qy/x_0 )^*\) 以及 \((qy/I)^*\) 均为 \(q\) 的函数。因此可以定义最优化时用于 \(y\) 类产品/部门的支出份额:

\[s\equiv qy/I=s(q)\]

注意，此函数的具体形式由 \(U(x_0,y)\) 的具体形式唯一确定。我们目前只知道 \(U(x_0,y)\) 是凸的、同位的，而没有其他任何信息，因此无法得出 \(s(q)\) 的解析式。

反解得 \(y=sI/q\) 和 \(x_0=(1-s)I\). 因此，若把收入视为外生变量，只要知道了 \(U(x_0,y)\) 的具体形式，就可以在第一阶段最优化中得到 \(y\) 和 \(x_0\) 对 \(q\) 的函数关系。

1.1.2.1 讨论：两个弹性

1.1.2.1.1 定义

已知 \(x_0=(1-s)I, y=(s/q)I, P_{x_{0}}=1, P_y=q\)，定义两部门产品 \(x_0\) 与 \(y\) 之间的替代弹性 \(\sigma(q)\) 和 \(y\) 类产品支出份额 \(s(q)\) 的自价格弹性 \(\theta(q)\)，即

\[ \sigma(q) \equiv-\frac{d \ln \left(y / x_{0}\right)}{d \ln \left(P_{y} / P_{x_{0}}\right)}=-\frac{d \ln \left[\frac{s}{q(1-s)}\right]}{d \ln q}=1-\frac{q s^{\prime}}{s(1-s)} \] 和 \[ \theta(q) \equiv \frac{d \ln s(q)}{d \ln q}=\frac{q s^{\prime}}{s} \]

由效用函数的凸性知 \(\sigma(q)>0\)，从而 \(\theta (q)=(1-s)[1-\sigma (q)]<1\)

1.1.2.1.2 数量指数 \(y\) 与价格指数 \(q\) 的关系

\[ \frac{d y}{d q}=I \frac{d(s / q)}{d q}=\frac{s I}{q^{2}}\left[\theta(q)-1\right]<0 \] 故 \(q\) 越大， \(y\) 越小， \(y\) 的最大化等价于 \(q\) 的最小化。

1.1.2.1.3 支出份额与价格指数的关系

\(\theta(q)\) 与零的相对大小取决于 \(\sigma(q)\) 与 1 的相对大小。

1.1.3 第二阶段最优化：部门之内的消费选择

一个部门内部，满足一定的数量指数，使总支出尽可能低，即

\[ \begin{aligned} & \min_{x} \sum_{i} P_{i} x_{i} \\ & \text { s.t. }\left(\sum_{i} x_{i}^{\rho}\right)^{1 / \rho}=y \end{aligned} \]

等效于解对偶问题 \[ \begin{aligned} &{\max _{x} y=\left(\sum_{i} x_{i}^{\rho}\right)^{1 / \rho}} \\ &{\text { s.t. } \sum_{i} P_{i} x_{i}=s I} \end{aligned} \]

解之，令 \(\mathcal{L} \equiv\left(\sum_{i} x_{i}^{\rho}\right)^{1 / \rho}+\lambda\left(s I-\sum_{i} P_{i} x_{i}\right)\)，则有

\[\begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{i}}=\left(\frac{x_{i}}{y}\right)^{\rho-1}-\lambda P_{i}=0 \tag{1.1} \end{align}\] \[\begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=s I-\sum_{i} P_{i} x_{i}=0 \tag{1.2} \end{align}\]

由(1.1)得

\[\begin{align} x_{i}=y\left(\lambda P_{i}\right)^{\frac{1}{\rho-1}} \tag{1.3} \end{align}\]

代入(1.2)有 \[ \sum_{i} P_{i} y\left(\lambda P_{i}\right)^{\frac{1}{\rho-1}}=y \lambda^{\frac{1}{\rho-1}} \sum_{i} P_{i}^{\frac{\rho}{\rho-1}}=s I \]

从而

\[\lambda^{\frac{1}{\rho-1}}=\frac{s I}{y} \cdot \frac{1}{\sum_{i} P_{i}^{\frac{\rho}{\rho-1}}}\]

代回(1.3)得

\[\begin{align} x_{i}=\frac{P_{i}^{\frac{1}{\rho-1}}}{\sum_{j} P_{j}^{\frac{\rho}{\rho^{-1}}}} \cdot s I \tag{1.4} \end{align}\]

从而有 \[ y \equiv\left(\sum_{i} x_{i}^{\rho}\right)^{1 / \rho}=\frac{s I}{\left(\sum_{i} P_{i}^{\frac{\rho}{\rho-1}}\right)^{\frac{\rho-1}{\rho}}} \]

于是

\[\begin{align} q=s I / y=\left(\sum_{i} P_{i}^{\frac{\rho}{\rho-1}}\right)^{\frac{\rho-1}{\rho}} \tag{1.5} \end{align}\]

至此，我们得到了 \(q\) 与 \(P\) 的函数关系，再结合第一阶段最优化，即可得到 \(y\) 和 \(x_0\) 对 \(P\) 的函数关系。

将(1.4)中的 \(\sum_{j} P_{j}^{\frac{\rho}{\rho-1}}\) 和 \(sI\) 用 \(q\) 和 \(qy\) 代替，则有

\[\begin{align} x_{i}=y\left(\frac{q}{P_{i}}\right)^{\frac{1}{1-\rho}} \tag{1.6} \end{align}\]

于是，以 \(y\) 为中介，\(x_i\) 对 \(P\) 的函数关系也就得到了，至此，给定 \(P\) 计算 \(x\) 的需求函数便完全确定了。

1.1.4 解的性质

1.1.4.1 需求收入弹性

当价格向量不变时，由(1.4)知

\[ \epsilon_{I} \equiv \frac{\partial \ln \left(x_{i}\right)}{\partial \ln (I)}=1 \]

1.1.4.2 一家厂商面对的需求价格弹性（dd curve的弹性）

当商品种类很多即 \(n \rightarrow \infty\) 时，由(1.5)知 \[ \frac{\partial \ln (q)}{\partial \ln \left(P_{i}\right)}=\left(\frac{q}{P_{i}}\right)^{\rho /(1-\rho)} \rightarrow 0 \]

故一家厂商的价格变化对价格指数 \(q\) 的影响可以忽略，此时可以将 \(q\) 视为常数。因 \(y=sI/q\)，\(y\) 也可视为常数。故由(1.6)知

\[ \epsilon_{d} \equiv-\left.\frac{\partial \ln \left(x_{i}\right)}{\partial \ln \left(p_{i}\right)}\right|_{q}=\frac{1}{1-\rho} \]

1.1.4.3 交叉价格弹性

因 \(q\) 和 \(y\) 为常数，由(1.6)可得

\[ \epsilon_{c r o s s} \equiv \frac{\partial \ln \left(x_{i}\right)}{\partial \ln \left(P_{j}\right)}=0 \]

1.1.4.4 两种商品的替代弹性

\[ \epsilon_{s} \equiv-\frac{\partial \ln \left(x_{i} / x_{j}\right)}{\partial \ln \left(P_{i} / P_{j}\right)}=\frac{1}{1-\rho} \]

1.1.4.5 简化表示

令常数 \(\sigma \equiv 1 /(1-\rho)\)，表示 D-S 偏好的价格弹性和替代弹性，则 D-S 偏好可以表示为 \(u=U(x_0,y)\)，其中包含两个指数：\(y=\left(\sum_{i} x_{i}^{1-1 / \sigma}\right)^{1 /(1-1 / \sigma)}\) 和 \(q=\left(\sum_{i} P_{i}^{1-\sigma}\right)^{1 /(1-\sigma)}\)

1.1.4.6 整个产业面对的需求价格弹性（DD curve的弹性）

若存在 \(n\) 种商品且有同样地价格和消费量，令 \(P_i=P\) 和 \(x_i=x\)，则预算约束可以写成 \(nPx=sI\)，从而有

\[\begin{align} x=s(q)I/Pn \tag{1.7} \end{align}\]

且由(1.5)知

\[\begin{align} q=\left(n P^{\frac{\rho}{\rho-1}}\right)^{\frac{\rho-1}{\rho}}=P n^{1-\frac{1}{\rho}} \tag{1.8} \end{align}\]

故 DD curve 的弹性为 \[ \epsilon_{D} \equiv-\frac{\partial \ln (n x)}{\partial \ln (P)}=1-\frac{\partial \ln (s)}{\partial \ln (q)} \cdot \frac{\partial \ln (q)}{\partial \ln (P)}=1-\theta(q)>0 \]

1.1.4.7 dd curve 比 DD curve 更有弹性（更平坦）的条件

\(\epsilon_{d}>\epsilon_{D} \Rightarrow\)

\[\begin{align} 1+(\frac 1{\rho}-1) \theta(q)>0 \tag{1.9} \end{align}\]

本文假定该条件自动得到满足。

1.1.4.8 多样性偏好

在(1.5)的条件下，有

\[\begin{align} y \equiv\left(\sum_{i} x^{\rho}\right)^{1 / \rho}=\left(n x^{\rho}\right)^{1 / \rho}=x n^{1 / \rho}=n x \cdot n^{1 / \rho-1} \tag{1.10} \end{align}\]

(1.10)的经济含义为，一个产业中 \(n\) 种商品的总消费量 \(nx\) 一定的前提下，产品种类越多，消费者效用越大——这就是多样化偏好。

1.2 加入供给侧：Market Equilibrium

1.2.1 成本函数

\[C(x_i)=a+cx_i\]

1.2.2 均衡解

1.2.2.1 均衡价格

由利润最大化条件：\(MR=P_i (1-1/ϵ_d )=c=MC\)，可解得均衡价格为

\[\begin{align} P_e=c/\rho \tag{1.11} \end{align}\]

1.2.2.2 均衡产量

企业零利润条件为：\(P=AC=a/x+c\)，代入(1.11)解得均衡时每个厂商的产量为

\[\begin{align} x_e=\frac {a\rho}{c(1-\rho)} \tag{1.12} \end{align}\]

1.2.2.3 均衡厂商数量

将(1.11)(1.12)代入(1.7)(1.8)得 \[ \frac{s\left(P_{e} n_{e}^{1-1 / \rho}\right) I}{P_{e} n_{e}}=x_{e}=\frac{a \rho}{c(1-\rho)} \] 式中唯一的未知数 \(n_e\) 可以被解出

注：每个企业有一定的市场势力，自主选择利润最大化产量，同时也就选择了价格。但随着厂商动态地进入和退出，这个最大化的利润最终一定为零。上述求解过程关注的仅仅是这个最终结果，求解的逻辑顺序不同于行业达到均衡的实际博弈逻辑顺序。

1.2.2.4 均衡时对 \(y\) 类产品的支出份额

\[ \begin{array}{l}{s_{e} \equiv s\left(q_{e}\right)} \\ {q_{e} \equiv P_{e} n_{e}^{1-1 / \rho}}\end{array} \]

1.2.3 解的性质

1.2.3.1 单一品种消费量对品种数量的弹性

由(1.9)知 \[ \frac{\partial \ln \left(x_{e}\right)}{\partial \ln \left(n_{e}\right)}=-\left[1+\left(\frac{1}{\rho}-1\right) \theta(q)\right]<0 \] 故均衡时厂商（产品）数量越大，消费者对每一种产品的消费量越小（由作者假设得出）。

1.2.3.2 若整个产业的总产量保持恒定

即 \(n_ex_e\) 与 \(n_e\) 无关，或\(\frac{\partial\ln{\left(x_e\right)}}{\partial\ln{\left(n_e\right)}}=-1\)，从而必有 \[ \theta\left(q\right)=\frac{\partial\ln{\left(s\right)}}{\partial\ln{\left(q\right)}}=0 \] 此时有：（1）整个产业获得的预算份额为常量（事实上，此时 \(U(\cdot)\) 为 Cobb-Douglas form）；（2）DD曲线为单位弹性。这是被应用很广的一种设定。

1.3 Constrained Social Optimum

设想有一个中央计划者，不希望企业之间无序竞争，打算直接规定该行业中企业的数量。第一种情况是，为了节省行政开支，中央计划者不打算补贴企业，因此不得不允许企业至少维持零利润。因此，中央计划者需要在企业零利润这个约束的前提下进行效用最优化。

1.3.1 最优化问题

由(1.7)和(1.8)知零利润约束条件是\((P-c) \frac{s\left(P n^{1-1 / \rho}\right) I}{P n}=a\)

且由1.1.2.1.2知，\(y\) 的最大化等价于 \(q\) 的最小化。从而最优化问题为：

\[ \begin{aligned}{\min _{n, P} q=P n^{1-1 / \rho}} \\ {\text { s.t. }(P-c) \frac{s\left(P n^{1-1 / \rho}\right) I}{P n}=a}\end{aligned} \]

1.3.2 求解

将 \((1-1/\rho)\) 换元为 \(-\beta\) 后，令 \(\mathcal{L}\equiv Pn^{-\beta}+\lambda\left[a-\ \left(P-c\right)\frac{s\left(Pn^{-\beta}\right)I}{Pn}\right]\)，则有一阶条件：

\[ \begin{array}{l}{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial P}=n^{-\beta}-\lambda\left[\frac{s}{P n}+(P-c) \frac{P \frac{\partial s}{\partial P}-s}{P^{2} n}\right] I=0} \\ {\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial n}=-\beta P n^{-\beta-1}-\lambda \frac{P-c}{P} \frac{\partial s}{n^{2}} I=0}\end{array} \]

两式相除消去 \(\lambda\) 得 \[\frac{1}{\beta}=\frac{\frac{c}{P-c}+\theta(q)}{1+\beta\theta(q)}\]

从中解得 \(P=c\left(1+\beta\right)=P_e\)，再按照与1.2.2.2和1.2.2.3相同的过程，可知 \(x=x_e\) 和 \(n=n_e\)。

因此，Constrained Social Optimum 的解 \(n_c, x_c, P_c\) 满足 \(P_c=P_e\)，\(x_c=x_e\) 和 \(n_c=n_e\)

1.3.3 解的性质

这是一个令人印象深刻的结果：垄断竞争均衡（由利润最大化条件 \(MR=MC\) 推出）与无 lump-sum 补贴（从而必须有企业利润非负）约束下的社会最优均衡（由效用最大化推出）是完全一致的。。

1.4 Unconstrained Social Optimum

若中央计划者可以对居民收税并转移支付给企业使其达到零利润，则市场价格可以低于平均成本。此时，居民对企业的支付只能 cover 部分成本，征税和转移支付的数量等于未被 cover 的企业成本，然后将其 lump-sum 地补贴给企业。但到底居民会支付何种价格，政府是否需要征税，事先是未知的，都有可能，故为无约束最优化。

1.4.1 最优化问题

由(1.10)知 \(y=x n^{1 / \rho}\)，将 \((1-1/\rho)\) 换元为 \(-\beta\) 后，最优化问题为：

\[\max_{n,x}{u=U\left(I-n\left(a+cx\right),xn^{1+\beta}\right)}\]

1.4.2 求解

一阶条件为 \[ \begin{array}{l}{\frac{\partial u}{\partial x}=-n c U_{0}+n^{1+\beta} U_{y}=0} \\ {\frac{\partial u}{\partial n}=-(a+c x) U_{0}+(1+\beta) x n^{\beta} U_{y}=0}\end{array} \]

由于 \(q=U_y/U_0\) 和(1.8)式 \(q=Pn^{-\beta}\)，与上面两式分别联立，可得无约束最优化的解：

\[\begin{align} P_u &= c < P_c \nonumber \\ x_u &= \frac {a}{\beta c} = x_c \tag{1.13} \end{align}\]

可见，居民直接支付给企业的价格刚好能 cover 可变成本，故居民支付给政府的税收应恰好能 cover 固定成本 \(an\)，于是居民的可支配收入为 \(\left(I-an\right)\)。在这部分收入中，居民再进行最优化的资源配置，分配 \(s(\cdot)\) 的比例给该产业。故有居民对该产业产品的预算约束方程

\[n_uP_ux_u=s(\cdot)(I-an)\]

与(1.13)联立，可得

\[\left(\frac{1}{n_u}-a\right)s\left(cn_u^{-\beta}\right)=\frac{a}{\beta}\]

由此可解得无约束最优化的厂商数量 \(n_u\).

1.4.3 解的性质

1.4.3.1 企业规模

企业在平均成本最低处生产（where all economies of scale are exhausted）未必是社会最优的。因为存在消费者对多样化的偏好，企业规模小一点、产品种类多一点，即使价格更高一些，也能使消费者获得更高的效用。传统上认为，只要企业规模偏小，无法实现在最低成本处生产，便存在excess capacity（超额生产能力或过剩设备），是一种浪费。而无论有无约束，最优化求解过程表明，这种传统观点是错误的。无法充分exploit规模经济造成的成本上升，可能在产品多样化上得到了补偿3 。

1.4.3.2 企业数量

\(n_u>n_c=n_e, x_u=x_c\)，即无约束最优化允许了更多的厂商和更大的部门产出。（具体推导过程略）

由于无约束最优化包含了约束最优化，故该解表明，在政府行政成本为零的前提下，存在 lump-sum 型转移支付的计划方案比约束最优化和完全市场竞争的方案都是更优的。

  1. 大量文化产品的成本结构近乎边际零成本，却没有形成自然垄断。因为消费者对产品多样化有需求，宁愿接受更小的企业规模和更高的平均成本。↩︎