4 完备模型16
前面讨论的（1）双边贸易流（2）价格和地理的关系都建立在要素价格外生的前提下。本节将要素价格内生化。
4.2 节在劳动力价格给定条件下讨论中间产品价格的决定，4.3 节对劳动力价格建立一般均衡模型。
4.1 生产
4.1.1 生产函数与两阶段最优化
假设生产要使用劳动和中间投入品，且生产函数为适用两阶段最优化的 D-S Lite 型，见 Dixit and Stiglitz (1977) ，即：（1）总成本中劳动 \(L\) 所占份额 \(\beta\) 保持不变；（2）中间品投入 \(Q(j)\) 以 CES 方式组织起来。具体形式如下（各国生产函数只有表示效率的 \(z_i(j)\) 这个唯一的区别）：
\[ y_{i}(j)=\frac{z_{i}(j)}{\beta^{\beta}(1-\beta)^{1-\beta}} L^{\beta}\left\{\left[\int_{0}^{1} Q(j)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} d j\right]^{\frac{\sigma}{\sigma-1}}\right\}^{1-\beta} \]
则成本最小化问题为
\[ \left\{\begin{array}{c} {\min_{L, Q} w_{i}L + \int_{0}^{1} P_{i}(j)Q(j) d j} \\ {\text { s.t. }\frac{z_{i}(j)}{\beta^{\beta}(1-\beta)^{1-\beta}} L^{\beta}\left\{\left[\int_{0}^{1} Q(j)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} d j\right]^{\frac{\sigma}{\sigma-1}}\right\}^{1-\beta}=y_{i}(j)} \end{array}\right. \]
为便于求解，将其对偶化为产量最大化问题，并进行三个换元
- 令效率指数 \(k_{i}(j)=\frac{z_{i}(j)}{\beta^{\beta}(1-\beta)^{1-\beta}}\)
- 令中间品数量指数 \(K=\left[\int_{0}^{1} Q(j)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} d j\right]^{\frac{\sigma}{\sigma-1}}\)
- 令中间品价格指数 \(p_{i}(j)=\left[\int_{0}^{1} P_{i}(j)^{1-\sigma} d j\right]^{\frac{1}{1-\sigma}}\)，可以证明其为 \(\gamma \Phi_{i}^{-1 / \theta}\)，与具体产品 \(j\) 无关，故可以统一写为 \(p_{i}\). 且有 \(p_{i}K=\int_{0}^{1} P_{i}(j)Q(j) d j\)
于是最优化问题变为
\[ \left\{\begin{array}{c} {\max_{L, K} y_{i}(j)=k_{i}(j)L^{\beta}K^{1-\beta}} \\ {\text { s.t. } w_{i}L + p_{i}K = C} \end{array}\right. \]
易知均衡时 \(L^*=\beta C/w_i, K^*=(1-\beta)C/p_i\)，因此 \(i\) 国生产 \(j\) 产品的单价为
\[\frac{C}{y_{i}(j)}=\frac{C}{k_i(j)\left(\frac{\beta C}{w_i}\right)^\beta\left[\frac{(1-\beta) C}{p_i}\right]^{1-\beta}}=\frac{w_{i}^{\beta}p_{i}^{1-\beta}}{z_{i}(j)}\]
而由 (1) 式知该价格为 \(c(i)/{z_{i}(j)}\)，故有
\[ c(i)=w_{i}^{\beta}p_{i}^{1-\beta} \tag{14} \]
4.1.2 福利（实际工资）
由 (8) 式得 \(\pi_{ii}=\frac{T_{i}c_{i}^{-\theta}}{\Phi_{i}}\)，再利用 (9) 式将 \(\Phi_{i}\) 换为 \(p_{i}\)，则有 \(\pi_{ii}=\frac{T_{i}p_{i}^{\theta}}{c_{i}^{\theta}\gamma^{\theta}}\)，故
\[\frac{c_i}{p_i}=\frac{1}{\gamma}\left(\frac{T_i}{\pi_{ii}}\right)^{\frac{1}{\theta}}\]
结合 (14) 式可得
\[ \frac{w_i}{p_i}=\left(\frac{c_i}{p_{i}}\right)^{\frac{1}{\beta}}=\gamma^{-1/\beta}\left(\frac{T_i}{\pi_{ii}}\right)^{\frac{1}{\beta\theta}} \tag{15} \]
由于 \(\pi_{ii}\) 是 \(i\) 国制造业产品支出中来源于本国产品的比例，显然，从自给自足到开放经济，\(\pi_{ii}\)↘，从而实际工资上升，福利改善。
4.2 中间产品价格
将 (14) 式代入 (7) 式再代入 (9) 式中得：
\[ p_{n}=\gamma\left[\sum_{i=1}^{N} T_{i}\left(d_{n i} w_{i}^{\beta} p_{i}^{1-\beta}\right)^{-\theta}\right]^{-1 / \theta} \tag{16} \]
将工资作为外生变量，则理论上，解这个 \(N\) 元非线性方程组，就可以解出 \(p\) 向量。
把 (14) 式和 (9) 式代入 (10) 式，可得
\[ \frac{X_{n i}}{X_{n}}=\pi_{n i}=T_{i}\left(\frac{\gamma d_{n i} w_{i}^{\beta} p_{i}^{1-\beta}}{p_{n}}\right)^{-\theta} \tag{17} \]
有 \(p\) 向量后，由 (17) 式便可求得（非标准化的）贸易份额。
4.3 要素价格
假设：经济中有两个部门——制造业部门和非制造业部门。后者的产品不可进行国际贸易，也不以制造业产品为中间投入17 。
\(i\) 国制造业总收入为制造业总出口加上在国内的销售，即 \(\sum_{n=1}^{N} \pi_{n i} X_{n}\)，其中 \(X_n\) 为 \(n\) 国对制造业产品的总支出。则 \(i\) 国制造业部门的劳动力收入（也是 \(i\) 国制造业对劳动力的投入）为
\[ w_{i} L_{i}=\beta \sum_{n=1}^{N} \pi_{n i} X_{n} \tag{18} \]
其中，\(L_i\) 为 \(i\) 国制造业工人数量。
另一方面，\(X_n\) 可以拆解为 \(n\) 国制造业对中间产品的支出，与 \(n\) 国所有人口对制造业最终产品支出的和。
前一项为 \((1-\beta)\sum_{k=1}^{N} \pi_{k n} X_{k}\)，而由 (18) 式知 \(\sum_{k=1}^{N} \pi_{k n} X_{k}=w_nL_n/\beta\)，故前一项为 \(\frac{1-\beta}{\beta} w_{n} L_{n}\).
定义 \(n\) 国对所有最终产品的支出为 \(Y_n\)，其中花费在制造业产品上的占比为固定值 \(\alpha\)。则后一项为 \(\alpha Y_{n}\).
两项加总，有
\[ X_{n}=\frac{1-\beta}{\beta} w_{n} L_{n}+\alpha Y_{n} \tag{19} \]
宏观经济学指出， \(Y_n\) 同时也是总收入，包括制造业劳动力的收入 \(Y_n^M\) 和非制造业劳动力的收入 \(Y_n^O\).
4.3.1 极端情况
为了便于确立一般均衡框架，考虑两种极端情境，并对非制造业作出严格的假设：
4.3.1.1 情境一
劳动力可在两部门间自由流动，且各国工资 \(w_i\) 由非制造业的生产率外生给定，劳动力禀赋也是外生的，从而总收入 \(Y_n\) 是外生给定的。
结合 (18)、(19) 式可得
\[ w_{i} L_{i}=\sum_{n=1}^{N} \pi_{n i}\left[(1-\beta) w_{n} L_{n}+\alpha \beta \overline{Y_n}\right] \tag{20} \]
将 (17) 式中的 \(\pi_{ni}\) 代入上式，得到 \(N\) 个方程，再将 (16) 式解出的 \(p_i\) 代入，可解得 \(L_{i}\) 向量。
劳动力可以跨部门流动时，技术水平会影响制造业就业规模 \(L_{i}\)。
4.3.1.2 情境二
劳动力不能跨部门流动，各国制造业就业规模 \(L_{i}\) 外生，且非制造业收入 \(Y_n^O\) 外生（同样有非制造业的工资水平外生），则 \(Y_n=w_nL_n+\overline{Y_n^O}\). 结合 (18)、(19) 式可得
\[ w_{i} L_{i}=\sum_{n=1}^{N} \pi_{n i}\left[(1-\beta+\alpha \beta) w_{n} L_{n}+\alpha \beta \overline{Y_n^O}\right] \tag{21} \]
将 (17) 式中的 \(\pi_{ni}\) 代入上式，得到 \(N\) 个方程，再结合 (16) 式的 \(N\) 个方程，可解出 \(p_i\) 与 \(w_{i}\) 向量。
劳动力不能跨部门流动时，技术水平会影响制造业工资和价格水平。
4.4 零和无穷大的贸易成本
这部分在论文中的重要性很低。
按照上述两种极端情况，一般均衡模型必然有解，但很难求出解析解。
继续讨论两种特殊情况，增加一些定性认识。
4.4.1 零贸易成本
此时 \(d_{ni}=1\)，化简 (16) 式发现 \(p_i\) 的表达式对 \(i=1,2,\cdots,N\) 是相同的，从而各国价格水平一致，一价定律成立。进一步化简 (17) 式得
\[\pi_{n i}=T_{i}\left(\frac{\gamma d_{n i} w_{i}^{\beta} p_{i}^{1-\beta}}{p_{n}}\right)^{-\theta}=T_{i}\left(\gamma w_{i}^{\beta} p_{i}^{-\beta}\right)^{-\theta}\]
从而由 (18) 式得
\[ w_{i} L_{i}=\beta \sum_{n=1}^{N} \pi_{n i} X_{n}=\beta T_{i}\left(\gamma w_{i}^{\beta} p_{i}^{-\beta}\right)^{-\theta} \sum_{n=1}^{N} X_{n} \]
因此 \[ \frac{w_{i} L_{i}}{w_{n} L_{n}}=\frac{T_{i}\left(w_{i}^{\beta} p_{i}^{-\beta}\right)^{-\theta}}{T_{n}\left(w_{n}^{\beta} p_{n}^{-\beta}\right)^{-\theta}}=\frac{T_{i}\left(w_{i}^{\beta}\right)^{-\theta}}{T_{n}\left(w_{n}^{\beta}\right)^{-\theta}} \]
故有 \[ \frac{w_{i}}{w_{n}}=\frac{w_i/p_i}{w_n/p_n}=\left[\frac{T_{i} / L_{i}}{T_{n} / L_{n}}\right]^{\frac{1}{1+\theta \beta}} \tag{22} \]
和 \[\frac{L_n}{L_i}=\left(\frac{w_i}{w_n}\right)^{1+\theta\beta}\frac{T_n}{T_i}\]
讨论其含义：
- 劳动力可在两部门间自由流动时，工资外生，技术水平 \(T\) 越高，制造业劳动力相对越多（越专业化于制造业）。
- 劳动力不能跨部门流动时，制造业劳动力数量外生，技术水平 \(T\) 越高，工资越高。
- 给定技术水平，一国制造业劳动力的增加将导致制造业工资的下降。
若在零贸易成本的基础上，进一步假定经济只有制造业一个部门，则由 (16) 式得
\[ \begin{array}{l}{p_{n}=\gamma\left[\sum_{i=1}^{N} T_{i}\left(w_{i}^{\beta} p_{i}^{1-\beta} d_{n i}\right)^{-\theta}\right]^{-\frac{1}{\theta}}} \\ {\Rightarrow p=p_{i}=\gamma^{\frac{1}{\beta}}\left[\sum_{i=1}^{N} T_{i}\left(w_{i}^{\beta}\right)^{-\theta}\right]^{-\frac{1}{\theta \beta}} \quad\left(d_{n i}=1, p_{n}=p_{i}\right)}\end{array} \]
结合 (22) 式有实际工资
\[ \begin{array}{l}{W_{i}=\frac{w_{i}}{p}=\frac{w_{i}}{\gamma^{\frac{1}{\beta}}}\left[\sum_{k=1}^{N} T_{k}\left(w_{k}^{\beta}\right)^{-\theta}\right]^{\frac{1}{\theta \beta}}} \\ {=\frac{1}{\gamma^{\frac{1}{\beta}}}\left[\sum_{k=1}^{N} T_{k}\left(\frac{w_{i}}{w_{k}}\right)^{\beta \theta}\right]^{\frac{1}{\theta \beta}}} \\ {=\frac{1}{\gamma^{\frac{1}{\beta}}}\left[\sum_{k=1}^{N} T_{k}\left(\frac{T_{i} / L_{i}}{T_{k} / L_{k}}\right)^{\frac{\beta \theta}{1+\theta \beta}}\right]^{\frac{1}{\theta \beta}}}\end{array} \]
因此
\[ W_{i}=\gamma^{-\frac{1}{\beta}} T_{i}^{\frac{1}{1+\theta \beta}}\left[\sum_{k=1}^{N} T_{k}^{\frac{1}{1+\theta \beta}}\left(L_{k} / L_{i}\right)^{\frac{\beta \theta}{1+\theta \beta}}\right]^{\frac{1}{\theta \beta}} \tag{23} \]
可见，任何国家的技术水平 \(T_k\) 提高，\(i\) 国的福利都会上升。
\(i\) 国自身技术水平提高时，会带来额外收益，因为它将提高本国对外国的相对工资。
\(i\) 国从 \(k\) 国技术水平 \(T_k\) 的提高中获得的收益大小取决于 \(k\) 国相对于 \(i\) 国的劳动力数量。如果技术进步来源国 \(k\) 国的劳动力数量比较少，\(w_k\) 上升得更多，减少了 \(k\) 国技术水平提高给其他国家带来的利得。
4.4.2 无穷大贸易成本
此时 \(d_{n i} \rightarrow \infty, \forall n \neq i\). 在 (15) 式中取 \(\pi_{ii}=1\)，得
\[ \quad W_{i}=\gamma^{-1 / \beta} T_{i}^{1 / \theta \beta}=\gamma^{-\frac{1}{\beta}} T_{i}^{\frac{1}{1+\theta \beta}}\left(T_{i}^{\frac{1}{1+\theta \beta}}\right)^{\frac{1}{\theta \beta}} \tag{24} \]
比较发现，(23) 式的右边比 (24) 式大（后者只是前者连加式中的一项），因此每个国家均从贸易中受益了。