3 贸易、地理和价格初探

3.1 标准化的进口份额

在 (10) 式中取 \(n\) 为 \(i\)，然后再相除，得到

\[ \frac{X_{n i} / X_{n}}{X_{i i} / X_{i}}=\frac{\Phi_{i}}{\Phi_{n}} d_{n i}^{-\theta}=\left(\frac{p_{i} d_{n i}}{p_{n}}\right)^{-\theta} \tag{12} \]

左边为 \(i\) 国产品在 \(n\) 国制造业产品支出中的占比除以 \(i\) 国产品在 \(i\) 国造业产品支出中的占比，称为标准化的 \(n\) 国进口中来源于 \(i\) 国的份额（\(n\)’s normalized import share from \(i\)，简称为标准化贸易份额）。

标准化贸易份额不会超过1。因为，\(\frac{X_{n i} / X_{n}}{X_{i i} / X_{i}}>1 \Rightarrow \frac{p_{i} d_{n i}}{p_{n}}<1\)，若该式成立，\(n\) 国消费的所有产品都可以从 \(i\) 国进口以节省开支（a purchaser in country \(n\) can always buy all her goods in \(i\) at a price index \(p_{i} d_{n i}\)），这与 \(n\) 国选择了最低价格是矛盾的

性质 1：\(p_i/p_n\)↗ 或 \(d_{ni}\)↗ 使标准化贸易份额下降

性质 2：\(\theta\)↗ 反映比较优势减弱，可贸易范围减少，使标准化贸易份额下降

3.2 估计 \(\theta\)

第 (12) 式两边取对数后，\(\theta\) 成为斜率。若有双边贸易价格加成和各国价格水平的数据，便可用这个方程估计 \(\theta\).

3.2.1 计算标准化进口份额

可以使用制造业进出口数据计算标准化贸易份额。

在无贸易障碍的世界，\(d_{ni}=1, \forall n, i\)，所有的 \(\Phi\) 都相等，从而所有的价格水平 \(p\) 都相等，则由 (12) 式知标准化的贸易份额将等于 1. 但现实数据显示，该份额从未超过 0.2，且在不同国家对之间差别很大——超过 4 个数量级，如 Figure 1 所示：

这说明，地理（障碍）因素对贸易的影响相当显著。

3.2.2 计算 price measure

价格指数之比：取 50 种产品在样本国家中的零售数据，并进行对数化处理：\(r_{n i}(j) \equiv \ln p_{n}(j)-\ln p_{i}(j)\)。对这 50 种产品的 \(-r_{n i}(j)\) 取平均值，作为 \(\ln \frac{p_i}{p_n}\) 的代理变量（proxy）

\(d_{ni}\) 不是简单的运输成本，而是对所有贸易障碍的衡量，无法直接计算，只能找代理变量。按照本文的理论，只有 \(n\) 国从 \(i\) 国进口的产品才满足 \(p_n(j)/p_i(j)=d_{ni} \Rightarrow r_{ni}(j)=\ln d_{ni}\)，\(n\) 国从第三国进口的产品 \(k\) 的价格比从 \(i\) 国进口更便宜，因此有 \(p_n(k)<p_i(k)\cdot d_{ni} \Rightarrow r_{ni}(k)<\ln d_{ni}\)。即 \(\ln d_{ni}\) 是 \(r_{ni}(j)\) 的上限，故有 \(\max\left\{ r_{ni}(j); j \in [0,1]\right\}=\ln d_{ni}\).

为了避免异常值的影响，我们用第二大的 \(r_{n i}(j)\) 作为 \(\ln d_{ni}\) 的代理变量。

将两个代理变量组合起来：

\[ D_{n i} \equiv \max 2_{j}\left\{r_{n i}(j)\right\}-\frac{1}{50}\sum_{j=1}^{50}\left[r_{n i}(j)\right] \tag{13} \]

就是 \(\ln ({p_{i} d_{n i}}/{p_{n}})\) 的代理变量¹⁵。

将 \(exp(D_{n i})\) 命名为 price measure，表示一个 \(n\) 国人若全部从 \(i\) 国购买商品，比实际的购买（充分按照比较优势）会贵多少（a buyer who insisted on purchasing everything from source \(i\), relative to the actual price index in \(n\), the price index for a buyer purchasing each goodfrom the cheapest source）。

一些计算出的 price measure 值，整理在 Table II 中。

图中法国那一行显示，法国最便宜的货源在德国（第 1 列），从德国购买所有商品只需多支付 33%；最昂贵的货源是新西兰（第 2 列），从新西兰购买所有商品要多支付 142%。一个坚持从法国购买所有商品的海外居民，如果在比利时（第 3 列），将面临最小的惩罚（40%）；如果在日本（第 4 列），将面临最大的惩罚（140%）。

最便宜的外国货源通常在附近，而最贵的则在远处。从第 4 列来看，如果要求必须从某个外国来源购买所有的东西，大国通常会受到最大的不利影响（美国、日本出现最频繁）。

3.2.3 参数估计

有了标准化进口份额和 \(D_{n i}\)，便可以利用 (12) 式估计 \(\theta\)，如 Figure 2 所示：

由于 (12) 式的结构意味着截距为 0，因此可以使用最简单的一阶矩估计：标准化贸易份额的对数取平均值除以 \(D_{ni}\) 的平均值，估计的 \(\theta\) 为 8.28（其他的估计方法得到的 \(\theta\) 值在同一个数量级范围内），这个大小意味着效率分布的标准差为均值的大约 \(17.2\%\).

## 计算生产率 Z_i(j) 的标准差


# 参数，包括 theta 和一系列不同的 T
theta <- 8.28
T_list <- 10^(seq(2, 4, length.out = 7))


## 方法一：理论推导
T_list %>% map_dbl(function(T) {

  # Fréchet 概率密度 f(z)
  f <- function(z) {
    T * theta * z^(-theta - 1) * exp(-T * (z^(-theta)))
  }

  # 期望，对 zf(z) 的积分
  E <- integrate(function(z) {
    z * f(z)
  }, 0, 25)$value # 积分限制在(0, 25)这个区间，精度足够

  # 标准差
  sigma <- integrate(function(z) {
    (z - E)^2 * f(z)
  }, 0, 25)$value %>% sqrt()

  # 返回一系列 T 对应的 sigma/E
  sigma / E
})

#> [1] 0.1722407 0.1722406 0.1722403 0.1722400 0.1722393 0.1722382 0.1722363

## 方法二：蒙特卡罗 Simulation
T_list %>% map_dbl(function(T) {
  # 用逆变换方法构造一个符合 Fréchet 分布 F(z) 的样本：
  # 若t符合[0,1)上的均匀分布，则Z=F^-1(t) 符合 F(z) 分布
  t <- runif(10^7)
  z <- (log(t) / (-T))^(-1 / theta)
  # hist(z,
  #   breaks = 100, probability = TRUE,
  #   xlim = c(1, 12), ylim = c(0, 1.8)
  # )
  sd(z) / mean(z)
})

#> [1] 0.1722778 0.1723176 0.1722079 0.1723979 0.1722929 0.1721233 0.1722349

---

15. \(\max 2\{\}\)​ 表示第二大。原文中此式有误，勘误表中已经指出，见 TGT Corrections.pdf (google.com).↩︎